Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d' trong mỗi trường hợp sau.
a) $d:\left\{\begin{array}{l}x=2 t \\ y=1-t \\ z=2-3 t\end{array}\right.$ và $d^{\prime}: \frac{x-2}{4}=\frac{y}{7}=\frac{z+1}{11}$;
b) $d: \frac{x-4}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2}$ và $d^{\prime}: \frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{9}$.
a) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {0;1;2} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {2; - 1; - 3} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) đi qua \(M'\left( {2;0; - 1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {4;7;11} \right)\).
Ta có \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right] = \left( {10; - 34;18} \right)\) và \(\overrightarrow {MM'} = \left( {2; - 1; - 3} \right)\)
Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MM'} = 10.2 + \left( { - 34} \right)\left( { - 1} \right) + 18.\left( { - 3} \right) = 0\).
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau.
b) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {4;1;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {1;2;2} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) đi qua \(M'\left( {2;1;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {3;2;9} \right)\).
Ta có \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right] = \left( {14; - 3; - 4} \right)\) và \(\overrightarrow {MM'} = \left( { - 2;0;0} \right)\)
Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MM'} = 14.\left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right).0 + \left( { - 4} \right).0 = - 28 \ne 0.\)
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) chéo nhau.