Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=-1+2t\\z=-2+t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=2+2t'\\y=3+4t'\\z=2t'\end{matrix}\right.\);
b) \(d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{2}\) và \(d':\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{5}=\dfrac{z-1}{1}\).
a) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;2;1} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {2;4;2} \right)\).
Do \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) nên \(\vec a\) và \(\vec a'\) cùng phương, suy ra \(d\) và \(d'\) hoặc song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm \(M\left( {1; - 1; - 2} \right)\) thuộc \(d\).
Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình \(x = 2 + 2t'\) ta có \(1 = 2 + 2t' \Rightarrow t' = - \frac{1}{2}\).
Thay \(y = - 1\) và \(t' = - \frac{1}{2}\) vào phương trình \(y = 3 + 4t'\), ta thấy phương trình không thoả mãn, do \(3 + 4.\frac{{ - 1}}{2} = 1 \ne - 1\).
Vậy điểm \(M\) không thuộc \(d'\). Suy ra \(d\parallel d'\).
b) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;2;2} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {1;5;1} \right)\).
Do \(\frac{1}{1} \ne \frac{2}{5}\), nên \(\vec a\) và \(\vec a'\) không cùng phương. Suy ra \(d\) và \(d'\) hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.
Lấy điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) thuộc \(d\) và \(M'\left( {2;1;1} \right)\) thuộc \(d'\).
Ta có \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right] = \left( { - 8;1;3} \right)\) và \(\overrightarrow {MM'} = \left( {1; - 1; - 2} \right)\).
Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MM'} = \left( { - 8} \right).1 + 1.\left( { - 1} \right) + 3.\left( { - 2} \right) = - 15 \ne 0.\)
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) chéo nhau.