Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
\(x+y\ge2\sqrt{xy},\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}\)
Do đó \(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\sqrt{xy}.\sqrt{\frac{1}{xy}}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y\)
Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn (x-y)(x-z)=1; y ≠ z.
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{\left(x-y\right)^2}+\frac{1}{\left(y-z\right)^2}+\frac{1}{\left(z-x\right)^2}\ge4\)
Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện : \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=1\) . Chứng minh rằng : \(\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{z}{y}}+\sqrt{\frac{x}{z}}\)≤1
Cho x>1, y>0, chứng minh :
\(\frac{1}{\left(x-1\right)^3}+\left(\frac{x-1}{y}\right)^3+\frac{1}{y^3}\ge3\left(\frac{3-2x}{x-1}+\frac{x}{y}\right)\)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1\)
Tính giá trị của biểu thức: \(P=\sqrt{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\left(\frac{\sqrt{x}}{1+x}+\frac{\sqrt{y}}{1+y}+\frac{\sqrt{z}}{1+z}\right)\)
a) CMR: \(\frac{1}{\sqrt{a+3}+\sqrt{a+2}}+\frac{1}{\sqrt{a+2}+\sqrt{a+1}}+\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}=\frac{3}{\sqrt{a+3}+\sqrt{a}}\)
b) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=1. CMR: \(\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}+\frac{z}{z+xy}\le\frac{9}{4}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x}-\frac{1}{y-2}=-1\\\frac{4}{x}+\frac{3}{y-2}=5\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x+2}{x+1}+\frac{2}{y-2}=6\\\frac{5}{x+1}-\frac{1}{y-2}=3\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x}+2\left(x+y\right)=3\\3x\left(x+y\right)-x=2\end{matrix}\right.\)
B1 Cho biểu thức A=\(\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{x-3}{x+2\sqrt{x}+4}-\frac{\sqrt{x}+7}{x\sqrt{x}-8}\right):\left(\frac{\sqrt{x}+7}{x+2\sqrt{x}+4}\right)\)
1, Rút gọn A. Tìm x sao cho A<2
2, Cho 1≤a,b,c≤2. Chứng minh rằng \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le10\)
1.Cho x, y là các số thực không âm . Tìm Max của \(\frac{\left(x^2-y^2\right)\left(1-x^2y^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\)
2.cho a,b,c >0 thỏa mãn \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\).CMR \(abc\le\frac{1}{8}\)
3.Giải phương trình : \(x^3-4\sqrt[3]{4x-3}+3=0\)
4.Tìm x,y thỏa mãn \(5x-2\sqrt{x}\left(2+y\right)+y^2+1=0\)
5.Giải phương trình \(\left(2x^3-3x+1\right)\left(2x^2+5x+1\right)=9x^2\)
6.cho các số dương a , b , c thỏa mãn a+b+c = 4. CMR \(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}>2\sqrt{2}\)
7. Tìm Max của S = \(5x^2+9y^2-12xy+24x-48y+2016\)
8. Giải phương trình \(4\sqrt{x+1}=x^2-5x+14\)
