Question

Viết số phức sau dưới dạng cực :

\(z=1+\cos a+i\sin a,a\in\left(0,2\pi\right)\)

Answer 1

\(\left|z\right|=\sqrt{\left(1+\cos a\right)^2+\sin^2a}=\sqrt{2\left(1+\cos a\right)}=\sqrt{4\cos^2\frac{a}{2}}=2\left|\cos\frac{a}{2}\right|\)

a) Nếu \(a\in\left(0,\pi\right)\Rightarrow\frac{a}{2}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\), P nằm góc phần tư thứ nhất.

Do đó

                \(\theta=arctan\frac{\sin a}{1+\cos a}=arctan\left(tan\frac{a}{2}\right)=\frac{a}{2}\)

                \(z=2\cos\frac{a}{2}\left(\cos\frac{a}{2}+i\sin\frac{a}{2}\right)\)

b) 

Nếu \(a\in\left(\pi,2\pi\right)\Rightarrow\frac{a}{2}\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\), P nằm góc phần tư thứ tư.

Do đó

                \(\theta=arctan\left(tan\frac{a}{2}\right)+2\pi=\frac{a}{2}-\pi+2\pi=\frac{a}{2}+\pi\)

                \(z=-2\cos\frac{a}{2}\left[\cos\left(\frac{a}{2}+\pi\right)+i\sin\left(\frac{a}{2}+\pi\right)\right]\)

c) Nếu \(a=\pi\) thì \(z=0\)