Question

 Viết số \(2020^{2021}\)   thành tổng của các  số nguyên dương.  Đem tổng các lập phương của tất cả các số hạng này chia cho  3, hỏi số dư thu được là bao nhiêu  ?
 P/s:  Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán gợi ý, giúp đỡ em tham khảo với ạ!
Em cám ơn nhiều ạ!

Answer 1

Gọi 3 số nguyên dương đó là a;b;c 

Ta có a + b + c = 2020²⁰²¹ 

Khi đó P =  a³ + b³ + c³ = a³ + b³ + c³ - 3abc + 3abc 

= (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) + 3abc 

= (a + b + c)³ - 3(ab + bc + ca)(a + b + c) + 3abc 

= (a + b + c)³ - 3[(ab + bc + ca)(a + b + c) - abc)

Nhận thấy a + b + c = 2020²⁰²¹ = (3k + 1)²⁰²¹ 

= B(3k) + 1²⁰²¹ = B(3k) + 1 

=> a + b + c : 3 dư 1

=> (a + b + c)³ : 3 dư 1 (1) 

mà 3[(ab + bc + ca)(a + b + c) - abc) \(⋮3\) (2) 

Từ (1) và (2) => P : 3 dư 1