Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:
a) (P) đi qua điểm M(– 3; 1; 4) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left(2;-4;1\right)\);
b) (P) đi qua điểm N(2; – 1; 5) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u_1}=\left(1;-3;-2\right)\) và \(\overrightarrow{u_2}=\left(-3;4;1\right)\)
c) (P) đi qua điểm I(4; 0; – 7) và song song với mặt phẳng (Q): 2x + y – z – 3 = 0;
d) (P) đi qua điểm K(– 4; 9; 2) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-6}{5}\).
a) Phương trình mặt phẳng (P): \(2\left( {x + 3} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + 1.\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 4y + z + 6 = 0\).
b) Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&{ - 2}\\4&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1\\1&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 3}\\{ - 3}&4\end{array}} \right|} \right) = \left( {5;5; - 5} \right)\).
(P) đi qua điểm N(2; -1; 5) và nhận \(\frac{1}{5}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (P): \(x - 2 + y + 1 - \left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - z + 4 = 0\)
c) Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 1} \right)\).
Vì (P) song song với (Q) nên mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (P) là: \(2\left( {x - 4} \right) + y - \left( {z + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - z - 15 = 0\).
d) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow u = \left( {2;1;5} \right)\).
Vì (P) vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) nên mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;1;5} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (P) là:
\(2\left( {x + 4} \right) + y - 9 + 5\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 5z - 11 = 0\).