a)
Δ\(ABD\) có \(AM\) là tia phân giác của \(\widehat{ADB}\) \(\left(M\in AB\right)\)
⇒ \(\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{DA}{DB}\) (1)
b)
Δ\(ACD\) có \(AN\) là tia phân giác của \(\widehat{ADC}\) \(\left(N\in AC\right)\)
⇒ \(\dfrac{NA}{NC}=\dfrac{DA}{DC}\) (2)
Từ \(\left(1\right)và\left(2\right)\), mà \(BD=CD\left(gt\right)\)
⇒ \(\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{NA}{NC}\)
⇒ \(MN\) // \(BC\) \(\left(ĐPCM\right)\)
c)
Δ\(ABC\) có \(MN\) // \(BC\) nên:
⇒ \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)
⇒ \(AM.AC=AN.AB\)
Ta có: \(MN\) //\(BC\)
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{M_1}=\widehat{D_1}\\\widehat{N_1}=\widehat{D_4}\end{matrix}\right.\)
\(Mà\) \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{D_1}=\widehat{D_2}\\\widehat{D_3}=\widehat{D_4}\end{matrix}\right.\)
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{M_1}=\widehat{D_2}\\\widehat{N_1}=\widehat{D_3}\end{matrix}\right.\)
Δ\(MKD\) có \(\widehat{M_1}=\widehat{D_2}\) ⇒ \(\text{Δ}MKD\) cân tại K
⇒ \(MK=KD\) \(\left(3\right)\)
Δ\(NKD\) có \(\widehat{N_1}=\widehat{D_3}\) ⇒ \(\text{Δ }NKD\) cân tại K
⇒ \(KN=KD\) \(\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) ⇒ \(MK=KN\)
hay K là trung điểm của MN