Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R), kẻ hai tiếp tuyến MA và MB tới đường tròn đó ( A và B là các tiếp điểm). Gọi P là điểm nằm trên đoạn thẳng AB (P khác A,B và P gần A hơn B). Qua P vẽ đường thẳng d vuông góc với Op, d cắt các đường thẳng MB, MA lần lượt tại D và E
a) C/m tứ giác OPDB nội tiếp đường tròn
b) C/m OD=OE
c) Cho biết OM=2R. Tính theo R, phần diện tích tam giác AMB nằm ngoài đường tròn (O;R)
Lời giải:
a)
$\widehat{OPD}=90^0$ (giả thiết)
$\widehat{OBD}=\widehat{OBM}=90^0$ (tính chất tiếp tuyến)
$\Rightarrow \widehat{OPD}+\widehat{OBD}=180^0$
Hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác $OPDB$ nội tiếp.
b)
Vì $OPDB$ nội tiếp nên $\widehat{ODP}=\widehat{OBP}=\widehat{OBA}$
Ta cũng chứng minh được tứ giác $AEOP$ nội tiếp (do $\widehat{OPE}=\widehat{OAE}=90^0$)
$\Rightarrow \widehat{OEP}=\widehat{OAP}=\widehat{OAB}$
Mà $\widehat{OBA}=\widehat{OAB}$ (do tg $OAB$ cân tại $O$)
$\Rightarrow \widehat{ODP}=\widehat{OEP}$
$\Rightarrow OED$ là tam giác cân tại $O$
$\Rightarrow OE=OD$ (đpcm)
c)
$\cos MOA=\frac{OA}{OM}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \widehat{MOA}=60^0$
$\Rightarrow \widehat{AOB}=2\widehat{MOA}=120^0$
Diện tích hình quạt $OAB$ là:
\(S_{qAOB}=\frac{120}{360}.R^2\pi =\frac{\pi R^2}{3}\)
Gọi $K$ là giao $MO$ và $AB$ thì $AK\perp MO$.
$MA=\sqrt{MO^2-AO^2}=\sqrt{4R^2-R^2}=\sqrt{3}R$
$AK=\frac{AM.AO}{MO}=\frac{\sqrt{3}R.R}{2R}=\frac{\sqrt{3}}{2}R$
$\Rightarrow AB=2AK=\sqrt{3}R$
$S_{AMBO}=\frac{AB.MO}{2}=\frac{\sqrt{3}R.2R}{2}=\sqrt{3}R^2$
Do đó phần diện tích tam giác $AMB$ nằm ngoài đường tròn là:
$S_{AMBO}-S_{qAOB}=\sqrt{3}R^2-\frac{\pi R^2}{3}$ (đvdt)
