\(MA=2a-x\) ;\(MB^2=MA^2+AB^2\); \(MC^2=MA^2+AC^2\)
\(MD^2=MA^2+AD^2\)
\(\Rightarrow MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=4MA^2+AB^2+AC^2+AD^2\)
Do đáy là nửa lục giác đều:
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=120^0\Rightarrow AC=\sqrt{AB^2+BC^2-2AB.BC.cos120}=a\sqrt{3}\)
\(AD=2BC=2a\)
\(\Rightarrow4\left(2a-x\right)^2+a^2+3a^2+4a^2=12a^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-x\right)^2=a^2\Rightarrow x=a\)
b/ Nói chung là tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp
Gọi I là trung điểm AD \(\Rightarrow I\) là tâm lục giác đều
\(\Rightarrow IA=IB=IC=ID\)
Trong mặt phẳng \(\left(SAD\right)\), qua I kẻ đường thẳng d song song SA \(\Rightarrow\) mọi điểm trên d đều cách đều 4 đỉnh của đa giác đáy
Gọi N là trung điểm SA, trong mặt phẳng (SAD), qua N kẻ đường thẳng d' vuông góc SA (hay song song AD) cắt d tại K \(\Rightarrow K\) là điểm cần tìm
c/ Theo tính chất lục giác đều ta có \(AB\perp BD\)
\(\Rightarrow BD\perp\left(SAB\right)\)
Từ A kẻ \(AH\perp SB\Rightarrow AH\perp\left(SBD\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng:
\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AB^2}\Rightarrow AH=\frac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}\)
