Question

Trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$ lấy một điểm $P$ tùy ý. Gọi $Q$ là giao điểm của $AP$ và $BC$.
a) Chứng minh rằng \(BC^2=AP.AQ\).
b) Chứng minh \(BP+PC=AP\).
c) Chứng minh \(\dfrac{1}{PQ}=\dfrac{1}{PB}+\dfrac{1}{PC}\).

Answer 1

ABC=90

Answer 2

a,Ta có góc ABC =góc BAC=góc BCA=60^•(ABC là Δ đều ) =>BPA=60^•
Xét ΔBAQ và ΔBAP có 

góc A chung 

góc ABQ=góc BPA(60^•)

=> ΔBAQ~ΔBPA(g.g)

=>BA/PA=AQ/AB

=>BA²=AP.AQ mà AB=BC

=>BC²=AP.AQ(đpcm ) 

b,trên đoạn PA lây điểm M sao cho PM=PB thì ta có Tam giác PMB là tam giác đều 

vì góc ACB=60=PBM=>ABM=PBC

=> tam giác ABM = tam giác CBP(c.g.c)=> AM=PC

=>PB+PC==PM+AM=PA

 

Answer 3

a) Ta có: góc ACB= góc APB( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

mà góc ACB= 60 độ ( vì Δ ABC đều)

=> góc APB= 60 độ

Xét Δ QAB và Δ BAP có:

góc APB= góc ABQ= 60 độ

góc BAP là góc chung

=> Δ QAB~Δ BAP(g.g)

=>\(\dfrac{AQ}{AB}\)=\(\dfrac{AB}{AP}\)

=> AB²= AQ.AP

mà AB= BC( vì Δ ABC đều)

=> BC²= AP. AQ( đpcm)

b) Trên đoạn PA lấy điểm M sao cho PM=PB

xét Δ PBM cân tại P( vì PM=PB) có: góc MPB=60 độ

=> Δ PBM là Δ đều

Ta có góc ABM+ góc MBC= góc ABC= 60 độ

          góc CBP+ góc MBC= góc MBP= 60 đọ

=> góc ABM= góc CBP

Xét Δ ABM và Δ CBP có:

AB=BC (vì Δ ABC đều)

góc ABM= góc CBP(cmt)

BM=BP( vì Δ MPB đều)

=> Δ ABM=Δ CBP(c-g-c)

=> AM=CP( 2 cạnh tương ứng)

Ta có PB+PC= AM+MP( vì AM=CP; PB=MP)

=> BP+PC=AP(đpcm)

Answer 4

Xét ∆AQB và ∆ABP có

\(\widehat{BPA}=\widehat{ACB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

\(\widehat{BAQ}\) chung

=>∆AQB~∆ABP (g.g)

=> \(\dfrac{AB}{AP}=\dfrac{AQ}{AB}\)

=> \(AB^2\)=AP.AQ

Mà AB=BC (∆ABC đều)

=> \(BC^2\)= AP.AQ (đpcm)

b.Trên đoạn AP lấy điểm M sao cho PM=PB

=>∆PMB đều (∆ cân có 1 góc=60°)

=>\(\widehat{MBP}\)=60°

Mà \(\widehat{ABC}=\)_60°

=> \(\widehat{MBP}\)\(=\widehat{ABC}\)

=> \(\widehat{MBP}\)\(​​-\widehat{MBQ}\)\(=\widehat{ABC}\) \(​​-\widehat{MBQ}\)

Hay \(\widehat{CBP}=\widehat{ABM}\)

 Xét ∆ABM và ∆CBP có

AB= BC (∆ABC đều)

\(\widehat{CBP}=\widehat{ABM}\) (cmt)

BM=BP(cách vẽ)

=>∆ABM=∆CBP(cgc)

=>AM=CP

Ta có AM+PM=AP

=>CP+BP=AP(đpcm) 

c. Giả sử\(\dfrac{1}{PQ}=\dfrac{1}{PB}+\dfrac{1}{PC}\Leftrightarrow\dfrac{1}{PQ}=\dfrac{PB+PC}{PB.PC}=\dfrac{AP}{PB.PC}\)

=> PB.PC = AP.PQ

Xét ΔBPQ và ΔAPCcó:

\(\widehat{BPQ}=\widehat{APC}\) (2 góc nội tiếp chắn 2 cung ^{\(\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{AC}\) )}

\(\widehat{PBQ}=\widehat{PAC}\) _{( 2 góc nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{PC}\))}

_{=>\(\Delta BPQ∽\Delta APC\left(g.g\right)\)}

=> \(\dfrac{PB}{AP}=\dfrac{PQ}{PC}\)

=> PB.PC=AP.PQ 

Do đó giả sử trên là đúng

Vậy \(\dfrac{1}{PQ}=\dfrac{1}{PB}+\dfrac{1}{PC}\)
 

 

 

Answer 5

    

Answer 6