Question

Tìm x, y, z ∈ Z thoả mãn: \(xyz\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)=3\)

Answer 1

Lời giải:

$x,y,z\neq 0$
PT $\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=3xyz$

Dễ thấy vế trái dương với mọi $x,y,z\neq 0$ nên $3xyz>0$

$\Leftrightarrow xyz>0$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$3xyz=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq 3\sqrt[3]{(xyz)^4}$

$\Rightarrow xyz\geq \sqrt[3]{(xyz)^4}$

$\Leftrightarrow (xyz)^3\geq (xyz)^4$

$\Rightarrow xyz\leq 1$.

Như vậy $xyz\in (0;1]$. Mà $xyz\in\mathbb{Z}$ nên $xyz=1$

Do đó pt trở thành: $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=3$

Không mất tổng quát giả sử $(xy)^2=\min[(xy)^2, (yz)^2, (zx)^2]$

$\Rightarrow (xy)^2\leq 1$

$\Rightarrow -1\leq xy\leq 1$. Mà $xy$ nguyên, $xy\neq 0$ nên $xy\in\left\{-1;1\right\}$

Nếu $xy=-1$ thì $z=-1$; $(x,y)=(1,-1); (-1,1)$ (thỏa mãn)

Nếu $xy=1$ thì $z=1$; $(x,y)=(1,1); (-1,-1)$ (thỏa mãn)

Vậy $(x,y,z)=(1,-1,-1); (1,1,1)$ và hoán vị.