Ta có:
\(3x^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2-18=6\) \(\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow3.\left(x-3\right)^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2=33\left(2\right)\)
\(\Rightarrow z^2⋮3\)và \(2z^2\le33\)
Hay \(\left|z\right|\le3\)
Vì \(z\) nguyên nên \(\Rightarrow z=0\) hoặc \(\left|z\right|=3\)
. TH1:
\(z=0,\left(2\right)\) \(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2+2y^2=11\left(3\right)\)
Từ \(\left(3\right)\) suy ra: \(2y^2\le11\)
\(\Rightarrow\left|y\right|\le2\)
Với \(y=0,(3)\) không có số nguyên x nào thỏa mãn.
Với \(\left|y\right|=1\) , từ \((3)\) suy ra: \(x\in\left\{0;6\right\}\)
. TH2:
\(\left|z\right|=3,\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2+11y^2=5\left(4\right)\)
Từ \(\left(4\right)\) suy ra: \(11y^2\le5\)
\(\Rightarrow y=0,\left(4\right)\) không có số nguyên x nào thỏa mãn.
Vậy pt \(3x^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2-18=6\) có \(4\) nghiệm nguyên \(\left(x;y;z\right)\) là: \(\left(0;1;0\right),\left(0;-1;0\right),\left(6;1;0\right)\) và \(\left(6;-1;0\right)\) .
