Bài 14: Số nguyên tố. Hợp số. Bảng số nguyên tố

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Tường Nguyễn Thế

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên n và k để \(\left(n^4+4^{2k+1}\right)\) là số nguyên tố.

Akai Haruma
5 tháng 12 2017 lúc 13:14

Lời giải:

Ta có:

\(n^4+4^{2k+1}=(n^2)^2+(2^{2k+1})^2=(n^2+2^{2k+1})^2-2.n^2.2^{2k+1}\)

\(=(n^2+2^{2k+1})^2-(2^{k+1}n)^2\)

\(=(n^2+2^{2k+1}-2^{k+1}n)(n^2+2^{2k+1}+2^{k+1}n)\)

Để số trên là số nguyên tố thì điều kiện đầu tiên là một trong hai thừa số \(n^2+2^{2k+1}-2^{k+1}n; n^2+2^{2k+1}+2^{k+1}n\) phải bằng 1

Vì \(n^2+2^{2k+1}-2^{k+1}n< n^2+2^{2k+1}+2^{k+1}n\) nên :

\(n^2+2^{2k+1}-2^{k+1}n=1\)

Đặt \(2^{k+1}=t(t>0)\). PT trở thành:

\(n^2+\frac{t^2}{2}-tn=1\)

\(\Leftrightarrow 2n^2+t^2-2tn=2\)

\(\Leftrightarrow (t-n)^2+(n^2-2)=0\)

Nếu \(n\geq 2\Rightarrow n^2-2>0; (t-n)^2\geq 0\)

\(\Rightarrow (t-n)^2+(n^2-2)>0\) (vô lý)

Do đó \(n<2\). Vì \(n\in\mathbb{N}\Rightarrow n\in\left\{0;1\right\}\)

+) \(n=0\Rightarrow t^2-2=0\Rightarrow t\not\in\mathbb{N}\) (vô lý)

+) \(n=1\Rightarrow (t-1)^2=1\Rightarrow t-1=\pm 1\Leftrightarrow t=0;2\)

Thấy \(t>0\Rightarrow t=2\Leftrightarrow 2^{k+1}=2\Leftrightarrow k+1=1\Leftrightarrow k=0\)

Vậy \((n,k)=(1,0)\)


Các câu hỏi tương tự
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Anh
Xem chi tiết
Dai Tran Phuc
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Vân Trần
Xem chi tiết
Mai Ngọc Ánh
Xem chi tiết
Quỳnh Như
Xem chi tiết