Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
LEGGO

tìm số nguyên x,y thỏa mãn \(2x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y^2}{4}=4\) và tích xy đạt gtln

Hoàng Thị Ngọc Mai
19 tháng 3 2018 lúc 22:48

Ta có :

\(2x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y^2}{4}=4\)

\(\Rightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}-2\right)+\left(x^2+\dfrac{y^2}{4}-xy\right)=2-xy\)

\(\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2=2-xy\)

Ta có:

\(\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow2-xy\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow xy\le2\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{x}=0\\x-\dfrac{y}{2}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{x}\\x=\dfrac{y}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\y=2x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}y=2\\y=-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy (x;y) nguyên thỏa mãn là : (1;2);(-1;-2)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thu Huyền
Xem chi tiết
pro
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Suzanna Dezaki
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Bách Bách
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Huyền
Xem chi tiết