Question

Tìm số hữu tỉ x để \(M=\dfrac{P}{Q}\) nhận giá trị nguyên

( biết \(P=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}\) , \(Q=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\))

Answer 1

Ta có ĐKXĐ : \(x\ge0 ; x\ne 4\)

\( \Rightarrow \) \(M = \frac{P}{Q} = \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}\) \(\ne 1 - \frac{4}{\sqrt{x}+1}\)

M nguyên \(\Leftrightarrow \) \(\frac{4}{\sqrt{x}+1} \) nguyên

Ta có : Với \(x\ge0\) \( \Rightarrow \) \(\sqrt{x}+1 > 0 \) \( \Rightarrow \) \(\frac{4}{\sqrt{x}+1} \) >0

Lại có : \(x\ge0\) \( \Rightarrow \) \(\sqrt{x}+1 \ge 0 \) \( \Rightarrow \) \(\frac{4}{\sqrt{x}+1} \) \(\le 4\)

Do đó : 0< \(\frac{4}{\sqrt{x}+1} \) \(\le 4\)

Vì \(\frac{4}{\sqrt{x}+1} \) nguyên \( \Rightarrow \) \(\frac{4}{\sqrt{x}+1} \) \(\in \) { 1;2;3;4 }

* Với \(\frac{4}{\sqrt{x}+1} \)=1 \( \Rightarrow \) x = 9 ( Thỏa mãn ĐKXĐ )

* Với \(\frac{4}{\sqrt{x}+1} \) = 2 \( \Rightarrow \) x=1 ( Thỏa mãn ĐKXĐ )

* Với \(\frac{4}{\sqrt{x}+1} \) = 3 \( \Rightarrow \) x=\(\frac{1}{9}\) ( Thỏa mãn ĐKXĐ )

* Với \(\frac{4}{\sqrt{x}+1} \) = 4 \( \Rightarrow \) x=0 ( Thỏa mãn ĐKXĐ )

Vậy để M nguyên khi và chỉ khi \(x \in \) { 0;\(\frac{1}{9}\) ; 1;9}