Giả sử phân số trên chưa tối giản
\(\Rightarrow\) 10n - 23 và 5n + 6 có ước chung là số nguyên tố
Gọi số nguyên tố d là ước chung của 10n - 23 và 5n+6
\(\Rightarrow\) \(10n-23⋮d\)
\(5n+6⋮d\)
\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}10n-23⋮d\\10n+12⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow35⋮d\)
Do d là số nguyên tố, \(35⋮d\) nên d=5;7
+,\(d=5\Rightarrow5n+6⋮5\)(vô lí)
\(+,d=7\Rightarrow10n-23⋮7\)
Mà \(7⋮7\)
\(\Rightarrow10n-30⋮7\)
\(\Rightarrow10\left(n-3\right)⋮7\)
\(\Rightarrow n-3⋮7\\\)(do 10,7 nguyên tố cung nhau)
\(\Rightarrow n=7k+3\left(k\in N\right)\)
Khi n= 7k+3 thì 5n+6=5(7k+3)+6=35k+21 chia hết cho 7
Vậy n=7k+3 thì phân số trên rút gọn được
\(\Rightarrow n\in\left\{3;10;17;24;31;38;.......;2012;2019;..;2047;2054\right\}\)
Vậy n thuộc N và 2010<n<2050 có số giá trị là:
2054-2012):7+1=6 (giá trị)
đáp số: 6
Giả sử phân số trên chưa tối giản
⇒⇒ 10n - 23 và 5n + 6 có ước chung là số nguyên tố
Gọi số nguyên tố d là ước chung của 10n - 23 và 5n+6
⇒⇒ 10n−23⋮d10n−23⋮d
5n+6⋮d5n+6⋮d
⇒⇒⎧⎨⎩10n−23⋮d10n+12⋮d{10n−23⋮d10n+12⋮d
⇒35⋮d⇒35⋮d
Do d là số nguyên tố, 35⋮d35⋮d nên d=5;7
+,d=5⇒5n+6⋮5d=5⇒5n+6⋮5(vô lí)
+,d=7⇒10n−23⋮7+,d=7⇒10n−23⋮7
Mà 7⋮77⋮7
⇒10n−30⋮7⇒10n−30⋮7
⇒10(n−3)⋮7⇒10(n−3)⋮7
⇒n−3⋮7⇒n−3⋮7(do 10,7 nguyên tố cung nhau)
⇒n=7k+3(k∈N)⇒n=7k+3(k∈N)
Khi n= 7k+3 thì 5n+6=5(7k+3)+6=35k+21 chia hết cho 7
Vậy n=7k+3 thì phân số trên rút gọn được
⇒n∈{3;10;17;24;31;38;.......;2012;2019;..;2047;2054}⇒n∈{3;10;17;24;31;38;.......;2012;2019;..;2047;2054}
Vậy n thuộc N và 2010<n<2050 có số giá trị là:
2054-2012):7+1=6 (giá trị)
đáp số: 6
