a) Ta có: \(x^3-x^2+x-1=0\)
\(\Rightarrow x^2\left(x-1\right)+\left(x-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+1=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=-1\left(loại\right)\\x=1\end{matrix}\right.\)
Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức f(x)
b, c: @Ace Legona
a)\(f\left(x\right)=x^3-x^2+x-1\)
Cho \(f\left(x\right)=0\Rightarrow x^3-x^2+x-1=0\)
\(\Rightarrow x^2\left(x-1\right)+\left(x-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)=0\)
Dễ thấy: \(x^2+1\ge1>0\forall x\) ( vô nghiệm )
\(\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1\)
b)\(g\left(x\right)=11x^3+5x^2+4x+10\)
Cho \(g\left(x\right)=0\Rightarrow11x^3+5x^2+4x+10=0\)
\(\Rightarrow11x^3-6x^2+10x+11x^2-6x+10=0\)
\(\Rightarrow x\left(11x^2-6x+10\right)+\left(11x^2-6x+10\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(11x^2-6x+10\right)=0\)
Dễ thấy:
\(11x^2-6x+10=11\left(x-\dfrac{3}{11}\right)^2+\dfrac{101}{11}\ge\dfrac{101}{11}>0\forall x\) (vô nghiệm)
\(\Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1\)
c)\(h\left(x\right)=-17x^3+8x^2-3x+12\)
Cho \(h\left(x\right)=0\Rightarrow-17x^3+8x^2-3x+12=0\)
\(\Rightarrow17x^2+9x+12-17x^3-9x^2-12x=0\)
\(\Rightarrow\left(17x^2+9x+12\right)-x\left(17x^2+9x+12\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(1-x\right)\left(17x^2+9x+12\right)=0\)
Dễ thấy:
\(17x^2+9x+12=17\left(x+\dfrac{9}{34}\right)^2+\dfrac{735}{68}\ge\dfrac{735}{68}>0\forall x\)(vô nghiệm)
\(\Rightarrow1-x=0\Rightarrow x=1\)
Tổng quát: Cho pt bậc 3: ax^3 +bx^2 +cx +d =0
+) Nếu a +b +c +d =0 thì pt có 1 nghiệm x =1
+) Nếu a+c - (b+d) =0 thì pt có 1 nghiệm x = -1
a, Xét f(x) có tổng các hệ số của từng hạng tử bằng 1-1+1-1=0
=> F(x) có 1 nghiệm x=1
b, Xét g(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ ( 11 + 4 = 5 + 10 )
=> G(x) có một nghiệm x=-1
c, Xét h(x) có tổng các hệ số của từng hạng tử bằng -17+8-3+12=0
=> H(x) có 1 nghiệm x=1
b) Giả sử \(g\left(x\right)=0\)
\(\Rightarrow11x^3+5x^2+4x+10=0\)
\(\Rightarrow10x^3+x^3+4x^2+x^2+4x+10=0\)
\(\Rightarrow\left(10x^3+10\right)+\left(x^3+x^2\right)+\left(4x^2+4x\right)=0\)
\(\Rightarrow10\left(x^3+1\right)+x^2\left(x+1\right)+4x\left(x+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left[10\left(x^2-x+1\right)+x^2+4x\right]=0\)
\(\Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1\)
Vậy \(-1\) là 1 nghiệm của đa thức \(g\left(x\right)\)
c) Ta có: \(-17x^3+8x^2-3x+12=0\)
\(\Rightarrow\left(-17x^3+17x^2\right)-\left(9x^2-9x\right)-\left(12x-12\right)=0\)
\(\Rightarrow-17x^2\left(x-1\right)-9x\left(x-1\right)-12\left(x-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(-17x^2-9x-12\right)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1\) (vì \(-17x^2-9x-12< 0\forall x\))
Vậy \(1\) là 1 nghiệm của đa thức \(h\left(x\right)\)
