Chương II - Hàm số bậc nhất

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Văn Anh Kiệt

Tìm Min: \(\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\) với \(x+y=\sqrt{10};x,y>0\)

Phương An
10 tháng 9 2017 lúc 22:29

Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz và AM - GM, ta có:

\(M=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\)

\(=x^4y^4+x^4+y^4+1\)

\(=\left(x^4+2x^2y^2+y^4\right)+\left(1-2x^2y^2+x^4y^4\right)\)

\(=\left(x^2+y^2\right)^2+\left(1-x^2y^2\right)^2\)

\(\ge\left[\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2+\left[1-\dfrac{\left(x+y\right)^4}{16}\right]^2\)

\(=\dfrac{841}{16}\)

Vậy Min M = 841/16 <=> x = y = \(\dfrac{\sqrt{10}}{2}\)

Akai Haruma
10 tháng 9 2017 lúc 23:07

Lời giải:

Biến đổi:

\(A=(x^4+1)(y^4+1)=x^4y^4+1+x^4+y^4\)

\(\Leftrightarrow A=(x^2+y^2)^2+(x^2y^2-1)^2\)

\(\Leftrightarrow A=[(x+y)^2-2xy]^2+(x^2y^2-1)^2\)

\(\Leftrightarrow A=(10-2xy)^2+(x^2y^2-1)^2\)

Đặt \(t=xy\) \(\Rightarrow A=(10-2t)^2+(t^2-1)^2\)

\(\Leftrightarrow A=t^4+2t^2-40t+101\)

Theo BĐT AM-GM thì \(xy\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2=\frac{5}{2}\), do đó \(t\in (0,\frac{5}{2}]\)

Thấy \(A+t^4+2t^2-40t+101=(t^2-4)^2+10(t-2)^2+45\)

\(\Leftrightarrow A=(t-2)^2[(t+2)^2+10]+45\geq 45\)

Dấu bằng xảy ra khi \(t=2\) (thỏa mãn khoảng của $t$)

Vậy \(A_{\min}=45\Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow (x,y)=\left(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Văn Anh Kiệt
Xem chi tiết
Vũ Anh Quân
Xem chi tiết
Vũ Anh Quân
Xem chi tiết
Duong Thi Nhuong
Xem chi tiết
Phạm Quỳnh Anh
Xem chi tiết
Thiên Hà
Xem chi tiết
Nguyễn Linh
Xem chi tiết
trung dũng trần
Xem chi tiết
Ong Seong Woo
Xem chi tiết