Question

Tìm m để y= \(x^3-\left(2m+1\right)x^2+\left(m^2+2m\right)x+1\)  đồng biến trên (0;\(+\infty\))

Answer 1

Lời giải:
Để làm đồng biến trên $(0;+\infty)$ thì:

$y'=3x^2-2(2m+1)x+(m^2+2m)>0$ với mọi $x\in (0;+\infty)$

$\Leftrightarrow 3x(x-m)-(m+2)(x-m)>0, \forall x\in (0;+\infty)$

$\Leftrightarrow (3x-m-2)(x-m)>0$, $\forall x\in (0;+\infty)$

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x>m\\ x> \frac{m+2}{3}\end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x< \frac{m+2}{3}\\ x< m\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\), $\forall x\in (0;+\infty)$

$\Leftrightarrow \frac{m+2}{3}<min (x)$

$\Leftrightarrow m< -2$

Answer 2

Đ=R

\(y'=3x^2-2\left(2m+1\right)x+\left(m^2+2m\right)\)

+ ) 3 > 0 (thỏa mãn )

\(\Delta'=\left(2m+1\right)^2-3\left(m^2-2m\right)\)

\(=4m^2-4m+1-3m^2+6m\)

\(=m^2+2m+1=\left(m+1\right)^2\)

\(\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2m-1+m-1}{3}=\dfrac{3m-2}{3}\\x_2=\dfrac{2m-1+m+1}{3}=\dfrac{3m}{3}=m\end{matrix}\right.\)

BBT: 

x       \(-\infty\)          |\(\dfrac{3m-2}{3}\)

y'                 +        0                  -         0 + 

                   /                \                     /

y               /                     \              /

=> m\(\le0\)