Câu hỏi của Thắng Cao

Question

Tìm GTNN của biểu thức $A=\left(x-1\right)^4+\left(x-3\right)^4+6\left(x-1\right)^2\left(x-2\right)^2$

Hà · Accepted Answer

Vì (x−1)2 ≥ 0 ∀ x

(x−3)4 ≥ 0 ∀ x

6(x−1)2(x−2)2 ≥ 0 ∀ x

=> (x−1)2+(x−3)4+6(x−1)2(x−2)2 ≥ 0 ∀ x

=>A≥ 0 ∀ x

=>Amin=0. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :

(x−1)2=0⇔x=1 và (x−3)4=0 ⇔ x=3 và 6(x−1)2(x−2)2⇔ x=1 hoặc x=2

Vì x chỉ có 1 giá trị duy nhất trong biểu thức nên x = ∅.Câu trả lời: Vì (x−1)2 ≥ 0 ∀ x

(x−3)4 ≥ 0 ∀ x

6(x−1)2(x−2)2 ≥ 0 ∀ x

=> (x−1)2+(x−3)4+6(x−1)2(x−2)2 ≥ 0 ∀ x

=>A≥ 0 ∀ x

=>Amin=0. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :

(x−1)2=0⇔x=1 và (x−3)4=0 ⇔ x=3 và 6(x−1)2(x−2)2⇔ x=1 hoặc x=2

Vì x chỉ có 1 giá trị duy nhất trong biểu thức nên x = ∅.

Nguyễn Việt Lâm · Answer

Đặt $x-2=a\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=a+1\x-3=a-1\end{matrix}\right.$

$A=\left(a+1\right)^4+\left(a-1\right)^4+6\left(a+1\right)^2a^2$

$A=a^4+4a^3+6a^2+4a+1+a^4-4a^3+6a^2-4a+1+6a^2\left(a-1\right)^2$

$A=2a^4+12a^2+6a^2\left(a-1\right)^2+2\ge2$

$\Rightarrow A_{min}=2$ khi $a=0\Leftrightarrow x=2$Câu trả lời: Đặt $x-2=a\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=a+1\x-3=a-1\end{matrix}\right.$

$A=\left(a+1\right)^4+\left(a-1\right)^4+6\left(a+1\right)^2a^2$

$A=a^4+4a^3+6a^2+4a+1+a^4-4a^3+6a^2-4a+1+6a^2\left(a-1\right)^2$

$A=2a^4+12a^2+6a^2\left(a-1\right)^2+2\ge2$

$\Rightarrow A_{min}=2$ khi $a=0\Leftrightarrow x=2$

Violympic toán 9