Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phuc Phan

tìm giá trị nhỏ nhất

\(C=2x^2+9y^2-6xy-2x+2018\)

\(D=x^2-2xy+6y^2-12x+2y+45\)

Nguyễn Thanh Hằng
16 tháng 10 2018 lúc 16:28

\(C=2x^2+9y^2-6xy-2x+2018\)

\(=\left(x^2-6xy+9y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+2017\)

\(=\left(x-3y\right)^2+\left(x-1\right)^2+2017\)

Nhận xét :

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3y\right)^2\ge0\\\left(x-1\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3y\right)^2+\left(x-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3y\right)^2+\left(x-1\right)^2+2017\ge2017\)

\(\Leftrightarrow C\ge2017\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3y\right)^2=0\\\left(x-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(C_{Min}=2017\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(D=x^2-2xy+6y^2-12x+2y+45\)

\(=\left(x^2-2xy+y^2\right)-\left(12x+12y\right)-10y+5y^2+45\)

\(=\left(x-y\right)^2-12\left(x-y\right)+36+\left(5y^2-10y+5\right)+4\)

\(=\left(x-y-6\right)^2+5\left(y-1\right)^2+4\)

Nhận xét :

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y-6\right)^2\ge0\\5\left(y-1\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-6\right)+5\left(y-1\right)^2+4\ge4\)

\(\Leftrightarrow D\ge4\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7\\y=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(D_{Min}=4\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7\\y=1\end{matrix}\right.\)


Các câu hỏi tương tự
Bướm Đêm Sát Thủ
Xem chi tiết
Bướm Đêm Sát Thủ
Xem chi tiết
Lê Mỹ Tâm
Xem chi tiết
Hoàng Văn Anh
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Phương Thảo
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Hoàng Văn Anh
Xem chi tiết
Lương Đức Hưng
Xem chi tiết