Question

Tìm các số tự nhiên a thỏa mãn

8^a + 15^a + 24^a + 45^a = 17^a + 51^a

mọi người giúp mình vơi mik đg cần gấp cảm ơn mn trước nhé

Answer 1

Lời giải:

$8^a+15^a+24^a+45^a=17^a+51^a$

$\Leftrightarrow (8^a+24^a)+(15^a+45^a)=17^a+51^a$

$\Leftrightarrow 8^a(1+3^a)+15^a(1+3^a)=17^a(1+3^a)$

$\Leftrightarrow (1+3^a)(8^a+15^a)=17^a(1+3^a)$

$\Leftrightarrow (1+3^a)(8^a+15^a-17^a)=0$

Với $a$ là số tự nhiên thì $1+3^a>0$ nên $8^a+15^a-17^a=0$

$\Leftrightarrow 8^a+15^a=17^a$

$\Leftrightarrow (\frac{8}{17})^a+(\frac{15}{17})^a=1$

Nếu $a=0,1$ thì dễ thấy không đúng

Nếu $a=2$ thì thỏa mãn

Nếu $a>2$: Khi đó:

$0<\frac{8}{17}<1$ nên $(\frac{8}{17})^a<(\frac{8}{17})^2$

$0<\frac{15}{17}<1$ nên $(\frac{15}{17})^a<(\frac{15}{17})^2$

$\Rightarrow (\frac{8}{17})^a+(\frac{15}{17})^a< (\frac{8}{17})^2+(\frac{15}{17})^2=1$ (loại)

Vậy $a=2$