Question

Tìm 3 số nguyên dương khác nhau sao cho tổng các nghịch đảo của chúng bằng 1.

Answer 1

Ta có : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)
Giả sử : a \(\ge b\ge c\)
=> 1 = \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le\dfrac{3}{c}\Rightarrow c\le3\)
Nếu c = 1 => \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=0\) (vô lý)
Nếu c = 2 => \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\le\dfrac{2}{b}\Rightarrow b\le4\)
Nếu b = 1 => a < 0
Nếu b = 2 => không tồn tại a
Nếu b = 3 => a = 6
Nếu b = 4 => a = 4
Nếu c = 3 => \(\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\le\dfrac{2}{b}\Rightarrow b\le3\)
Nếu b = 1 => a < 0
Nếu b = 2 => a = 6
Nếu b = 3 => a = 3
@Valentine

Answer 2

Giải:

Gọi ba số tự nhiên phải tìm là \(a,b,c\)

Không giảm tính tổng quát ta giả sử \(1\le a< b< c\)

Ta được \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=k\left(1\right)\) với \(k\in N\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}\le1;\dfrac{1}{b}\le\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{c}\le\dfrac{1}{3}\) nên:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=1\dfrac{5}{6}>1\)

\(\Rightarrow k=1\) do đó \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\left(2\right)\)

Do \(a< b< c\Rightarrow\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}>\dfrac{1}{c}\) nên \(\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{3}\Rightarrow a< 3\)

Mặt khác \(\dfrac{1}{a}< 1\) nên \(a>1\) suy ra \(a=2\)

Thay vào \(\left(2\right)\) ta được: \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\)

Lại tìm khoảng giá trị của \(b\) ta được:

\(2< b< 4\Rightarrow b=3\) từ đó suy ra \(b=6\)

Vậy...