Question

Chứng minh rằng:toormg của 1 phân số dương với số nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2

Answer 1

Gọi phân số đó là\(\frac{a}{b}\)

Theo đề ta có 

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)=\(\frac{2a}{ab}+\frac{2b}{ab}\)=\(\frac{2a+2b}{ab}\)=\(\frac{1a+1b}{1}\)=\(1a+1b\)

Vì \(\frac{a}{b}\)là một phân số dương nên \(a\ge1;b\ge1\)\(\Rightarrow\)\(1a+1b\ge2\)

Vậy ta chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo không bao giờ nhỏ hơn 2.

Answer 2

Gọi phân số dương là a/b. Không mất tính tổng quát, giả sử a>0, b>0 và a≥b. Ta có thể viết a=b+m (m≥0). Ta có:

(a/b)+(b/a)=b/(b+m)≥1+[m/(b+m)]+[b/(b+m)]=1+[(m+b)/(b+m)]=2.

Vậy (a/b)+(b/a)=2

Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b (m=0).