Question

Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là đường phân giác. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của tam giác ABD và diện tích của tam ACD bằng \(\dfrac{m}{n}\) ?

Answer 1

Kẻ AH ⊥ BC

Ta có:

S_ABD = $\frac{1}{2}$AH.BD

S_ADC = $\frac{1}{2}$AH.DC

=>$\frac{S_{SBD}}{S_{ADC}}$ = $\frac{\frac{1}{2}AH.BD}{\frac{1}{2}AH.DC}$ = $\frac{BD}{DC}$

Mặt khác: AD là đường phân giác của ∆ABC

=> $\frac{BD}{DC}$= $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{m}{n}$.

Vậy $\frac{S_{SBD}}{S_{ADC}}$ = $\frac{m}{n}$

Answer 2

kẻ AH là đường cao của tam giác ABD và cũng là đường cao của tam giác ACD.

\(\dfrac{SABD}{SACD}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AH.BD}{\dfrac{1}{2}AH.DC}=\dfrac{BD}{DC}\) (1)

TA CÓ:\(\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{m}{n}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) =>\(\dfrac{SABD}{SADC}=\dfrac{m}{n}\)