Ôn thi vào 10

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đỗ Quyên

undefined

[Ôn thi vào 10]

Câu 1:

a. Cho biết \(a=2+\sqrt{3}\) và \(b=2-\sqrt{3}\). Tính giá trị biểu thức: \(P=a+b-ab\)

b. Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}3x+y=5\\x-2y=-3\end{matrix}\right.\)

Câu 2

Cho biểu thức \(P=\left(\dfrac{1}{x-\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{x-2\sqrt{x}+ 1}\) (với \(x>0,x\ne1\))

a. Rút gọn biểu thức \(P\).

b. Tìm các giá trị của \(x\) để \(P>\dfrac{1}{2}\).

Câu 3:

Cho phương trình: \(x^2-5x+m=0\) (\(m\) là tham số).

a. Giải phương trình trên khi \(m=6\).

b. Tìm \(m\) để phương trình trên có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn: \(\left|x_1-x_2\right|=3\).

Câu 4:

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC (E khác B và C), AE cắt CD tại F. Chứng minh:

a. BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b. AE.AF=AC2.

c. Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp △CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Câu 5:

Cho hai số dương \(a,b\) thỏa mãn: \(a+b\le2\sqrt{2}\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\).

hnamyuh
18 tháng 3 2021 lúc 14:30

Câu 1 : 

a) 

\(P = a + b - ab = 2 + \sqrt{3} + 2-\sqrt{3} - (2 + \sqrt{3})(2-\sqrt{3})\\ =4 - (2^2 - (\sqrt{3})^2) = 4 - (4 - 3) = 3\)

b)

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+y=5\\x-2y=-3\end{matrix}\right.\)\(\left\{{}\begin{matrix}3x+y=5\\3x-6y=-9\end{matrix}\right.\)\(\left\{{}\begin{matrix}y-\left(-6y\right)=5-\left(-9\right)\\x=\dfrac{5-y}{3}\end{matrix}\right.\)\(\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x=\dfrac{5-2}{3}=1\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình (x ; y) = (1 ; 2)

Nguyễn Duy Khang
18 tháng 3 2021 lúc 14:30

Câu 1:

a)

\(P=a+b-ab\\ =2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}-\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)\\ =4-\left(4-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3\right)\\ =4-1=3\)

Vậy \(P=3\)

b)

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+y=5\\x-2y=-3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x+2y=10\\x-2y=-3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=7\\x-2y=-3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\1-2y=-3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\2y=4\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

Vậy pht có nghiệm là \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)

Nguyễn Duy Khang
18 tháng 3 2021 lúc 14:39

Câu 2:

a) Thay $m=6$ vào pt trên ta được:

\(x^2-5x+6=0\\ \Leftrightarrow x^2-2x-3x+6=0\\ \Leftrightarrow x\left(x-2\right)-3\left(x-2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=3\end{matrix}\right.\)

b) 

\(x^2-5x+m=0\\ a=1;b=-5;c=m\\ \Delta=b^2-4ac=\left(-5\right)^2-4.1.m=25-4m\\ \Delta\ge0\Leftrightarrow25-4m\ge0\Leftrightarrow25\ge4m\Leftrightarrow m\le\dfrac{25}{4}\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-\left(-5\right)}{1}=5\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m}{1}=m\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1-x_2\right|=3\\ \Leftrightarrow\sqrt{\left(x-y\right)^2}=3\\ \Leftrightarrow\sqrt{x^2-2xy+y^2+2xy-2xy}=3\\\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)^2-4xy}=3\\ \Leftrightarrow\sqrt{5^2-4m}=3\\ \Leftrightarrow\sqrt{25-4m}=3\\ \Leftrightarrow25-4m=9\\ \Leftrightarrow4m=16\\ \Leftrightarrow m=4\left(tm\right)\)

Vậy \(m=4\) thì pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn đề bài

hnamyuh
18 tháng 3 2021 lúc 14:45

Câu 2 : 

a) Với x > 0 , x ≠ 1, Ta có :

\(P = \Big(\dfrac{1}{x-\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\Big) : \dfrac{\sqrt{x}}{x-2\sqrt{x}+1}\\ =\Big(\dfrac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+1} \Big) : \dfrac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)^2}\\ =\dfrac{(\sqrt{x}+1)+\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} . \dfrac{(\sqrt{x}-1)^2}{\sqrt{x}}\)

\(= \dfrac{(\sqrt{x}+1)^2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1) } \dfrac{(\sqrt{x}-1)^2}{\sqrt{x}}\\ = \dfrac{x-1}{x}\)

b) 

\(P >\dfrac{1}{2 } \Leftrightarrow \dfrac{x-1}{x} > \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{x-1}{x}-\dfrac{1}{2}>0\\ \Leftrightarrow \dfrac{2x-2-x}{2x}>0\\ \Leftrightarrow \dfrac{x-2}{2x}>0\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-2>0\\2x>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-2< 0\\2x< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x>2\\x>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x< 2\\x< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}x>2\\x< 0\end{matrix}\right.\)

Vậy, với x > 2 hoặc x < 0 thì P > \(\dfrac{1}{2}\)

𝓓𝓾𝔂 𝓐𝓷𝓱
18 tháng 3 2021 lúc 14:51

Câu 5:

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\) \(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\) \(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)  (Tích chéo)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}=\dfrac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

  Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2}\)

   Vậy \(P_{Min}=\sqrt{2}\) khi \(a=b=\sqrt{2}\)

 

Nguyễn Duy Khang
18 tháng 3 2021 lúc 15:00

Câu 5:

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương a, b 

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)ab}\ge\dfrac{4ab}{\left(a+b\right)ab}\\ \Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\\ \Leftrightarrow\dfrac{a}{ab}+\dfrac{b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{a+b}\\ a+b\le2\sqrt{2}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{a+b}\ge\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\\ \Leftrightarrow\dfrac{4}{a+b}\ge\dfrac{4}{2\sqrt{2}}\\ \Leftrightarrow\dfrac{4}{a+b}\ge\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\)

Vậy \(P_{min}=\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2}\)

tthnew
19 tháng 3 2021 lúc 14:23

Câu 4.

a) Đây là hiển nhiên vì \(\angle FIB+\angle BEF=90^o+90^o=180^o\)

b) Ta có $\angle ACB=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên $AC^2=AI\cdot AB.$ Dễ dàng chứng minh \(\Delta IAF\sim \Delta EAB\Rightarrow\dfrac{IA}{AE}=\dfrac{AF}{AB}\Rightarrow AE\cdot AF=AI\cdot AB.\)

Từ đây thu được điều phải chứng minh.

c) Có $\angle ACF=\angle  ADC=\angle AEC$ nên AC là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp CEF.

Mặt khác ta có $\angle ACB=90^o$ (câu b) tức $AC\bot CB$

Từ đây BC chứa tâm đường tròn ngoại tiếp CEF hay tâm đường ngoại tiếp CEF luôn di chuyển trên BC cố định.

tthnew
19 tháng 3 2021 lúc 14:25

Hình vẽ.


Các câu hỏi tương tự
Kim Taehyungie
Xem chi tiết
Ngoc Anh Thai
Xem chi tiết
Đỗ Quyên
Xem chi tiết
Đỗ Quyên
Xem chi tiết
Ngoc Anh Thai
Xem chi tiết
Đỗ Quyên
Xem chi tiết
học giỏi nhất web
Xem chi tiết
hilo
Xem chi tiết
Gallavich
Xem chi tiết