Ôn tập cuối năm giải tích lớp 12

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Sách Giáo Khoa

Nêu định nghĩa các phương pháp tính tích phân ?

dương thùy
1 tháng 4 2017 lúc 19:04
Loại 1: Đặt t=u(x) Loại 2: Đặt x=u(t) Phương pháp đổi biến loại 1

Bài toán: Tính tích phân dạng: I=∫abf(u(x))(u(x))′dx

Phương pháp:

Đặt t=u(x)⇒dt=u′(x)dx

Đổi cận:

doi can

⇒I=∫u(a)u(b)f(t)dt

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:

a) I=∫01ex2+1xdx

Phân tích: Ta thấy có thể viết lại: I=∫01ex2+1xdx=∫01ex2+112.2xdx=12∫01ex2+1.2xdx

Trong đó 2x là đạo hàm của x2+1 nên ta có thể đặt t=x2+1.

Giải

Đặt t=x2+1⇒dt=2xdx

Đổi cận:

doi can vd1

⇒I=12∫12etdt=12et∣∣∣21=12(e2−e)

b) J=∫01x3x2+1−−−−−√dx

Đặt t=x2+1−−−−−√⇒t2=x2+1⇒x2=t2−1⇒xdx=tdt

Đổi cận:

doi can vd2

⇒J=∫01x2.x2+1−−−−−√.xdx=∫12√(t2−1).t.tdt=∫12√(t4−t2)dt

=(t55−t33)∣∣∣2–√1=22√+215

Một số bài tập áp dụng

1) J1 = ∫12xex2dx 2) J2 = ∫1e1+lnx√xdx

3) J3 = ∫01x3(x4−1)5dx 4) J4 = ∫024−x2−−−−−√.xdx

5) J5 = ∫0π/2cosx(1+sinx)4dx

Phương pháp đổi biến loại 2

Trong một số trường hợp đặt biệt, ta sẽ đổi biến bằng cách đặt x=u(t) để chuyển từ biến x về biến t. Một số trường hợp mà ta thường gặp có thể áp dụng phương pháp này:

1) Hàm số có chứa a2−x2−−−−−−√: đặt x=|a|sint với (−π2≤t≤π2) hoặc x=|a|cost với (0≤t≤π).

2) Hàm số có chứa x2−a2−−−−−−√: đặt x=|a|sint với (−π2≤t≤π2;t≠0) hoặc x=|a|cost với (0≤t≤π;t≠π2).

3) Hàm số có chứa a2+x2: đặt x=|a|tant với (−π2≤t≤π2) hoặc x=|a|cott với (0≤t≤π).

Ví dụ 3: Tình các tích phân sau:

a) I=∫024−x2−−−−−√dx

Giải

Đặt x=2sint (−π2≤t≤π2)

⇒dx=2costdt

Đổi cận:

doi can vd3

⇒I=∫0π24−4sin2t−−−−−−−−√.2costdt=∫0π24(1−sin2t)−−−−−−−−−−√.2costdt

=∫0π24cos2t−−−−−√.2costdt=∫0π24cos2tdt=∫0π22(1+cos2t)dt

=2(t+12sin2t)∣∣∣π20=π

b) J=∫01x1+x2dx

Giải

Đặt x=tant⇒dx=1cos2tdt (−π2≤t≤π2)

Đổi cận:

doi can vd4

⇒J=∫0π4tant1+tan2t(1+tan2t)dt=∫0π4tantdt=∫0π4sintcostdt

=−∫0π4(cost)′costdt=−ln(cost)∣∣∣π40=−ln2√2

Một số bài tập áp dụng:

1) ∫01dx1+x2 2) ∫02√2−x2−−−−−√dx 3) ∫2√2dxxx2−1√

4) ∫123√2dx1−x2√ 5) ∫13√9+3x2√dxx2

Nguyễn Bảo Trung
1 tháng 4 2017 lúc 19:04

Định nghĩa : Cho f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a; b] và giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Khi đó hiệu F(b)−F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x).

Các phương pháp giải tích phân :

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

phương pháp tích phân từng phần

Cách đặt: Nhất lốc, nhì đa, tam lượng, tứ mũ (hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ)


Các câu hỏi tương tự
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết