\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{a^2x^2-x^2-bx-1}{ax-\sqrt{x^2+bx+1}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{\left(a^2-1\right)x-b-\frac{1}{x}}{a+\sqrt{1+\frac{b}{x}+\frac{1}{x^2}}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{\left(a^2-1\right)x-b}{a+1}\)
Để giới hạn đã cho là hữu hạn và bằng \(\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-1=0\\-\frac{b}{a+1}=\frac{1}{2}\\a\ne-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A=1\)