Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Quốc Sơn

Mọi Người ơi Giúp Em Pls

Mai em phải nộp rùi

Bài 1: Tìm GTNN

A = \(\left(x^2-x\right)\left(x^2+3x+2\right)\)

B = \(x^4+\left(x-2\right)^4+6x^2\left(x-2\right)^2\)

C = \(4x^2+4x-6\left|2x+1\right|+6\)

Bài 2: Tìm GTLN

E = \(\frac{\sqrt{x}}{x+1+\sqrt{x}}\)

Bài 3 Tìm cả GTNN và GTLN

E = \(\sqrt{-x^2+6x+1}\)

A = \(\sqrt{x}\sqrt{2-x}\)

B = \(\sqrt{x}+\sqrt{2-x}\)

Akai Haruma
20 tháng 7 2019 lúc 11:51

Bài 1:

Ta có:

\(A=(x^2-x)(x^2+3x+2)=x(x-1)(x+1)(x+2)\)

\(=[x(x+1)][(x-1)(x+2)]=(x^2+x)(x^2+x-2)\)

\(=(x^2+x)^2-2(x^2+x)=(x^2+x)^2-2(x^2+x)+1-1\)

\(=(x^2+x-1)^2-1\geq -1\)

Vậy GTNN của $A$ là $-1$. Dấu "=" xảy ra khi \((x^2+x-1)^2=0\Leftrightarrow x^2+x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}\)

------------------------

\(B=x^4+(x-2)^4+6x^2(x-2)^2=x^4+(x-2)^4-2x^2(x-2)^2+8x^2(x-2)^2\)

\(=[x^2-(x-2)^2]^2+8x^2(x-2)^2\)

\(=16(x-1)^2+8[x(x-2)]^2=16(x^2-2x+1)+8(x^2-2x)^2\)

\(=8[(x^2-2x)^2+2(x^2-2x+1)]=8[(x^2-2x)^2+2(x^2-2x)+1+1]\)

\(=8[(x^2-2x+1)^2+1]=8(x^2-2x+1)^2+8\geq 8\)

Vậy GTNN của biểu thức là $8$ khi \((x^2-2x+1)^2=0\Leftrightarrow (x-1)^4=0\Leftrightarrow x=1\)

-------------------

\(C=4x^2+4x-6|2x+1|+6=(4x^2+4x+1)-6|2x+1|+5\)

\(=|2x+1|^2-6|2x+1|+5\)

\(=|2x+1|^2-6|2x+1|+9-4=(|2x+1|-3)^2-4\geq -4\)

Vậy GTNN của biểu thức là $-4$ khi \(|2x+1|=3\Leftrightarrow x=1\) hoặc $x=-2$

Akai Haruma
20 tháng 7 2019 lúc 11:52

Bài 2:

ĐKXĐ: \(x\geq 0\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm ta có:
\(x+1\geq 2\sqrt{x}\Rightarrow x+1+\sqrt{x}\geq 3\sqrt{x}\)

\(\Rightarrow E=\frac{\sqrt{x}}{x+1+\sqrt{x}}\leq \frac{\sqrt{x}}{3\sqrt{x}}=\frac{1}{3}\)

Vậy GTLN của $E$ là $\frac{1}{3}$ khi $x=1$

Akai Haruma
20 tháng 7 2019 lúc 11:59

Bài 3:

\(E=\sqrt{-x^2+6x+1}\geq 0\) (theo tính chất căn bậc 2)

Vậy \(E_{\min}=0\Leftrightarrow -x^2+6x+1=0\Leftrightarrow x=3\pm \sqrt{10}\)

Mặt khác:

\(E=\sqrt{-x^2+6x+1}=\sqrt{10-(x^2-6x+9)}=\sqrt{10-(x-3)^2}\)

\((x-3)^2\geq 0\Rightarrow 10-(x-3)^2\leq 10\)

\(\Rightarrow E=\sqrt{10-(x-3)^2}\leq \sqrt{10}\)

Vậy \(E_{\max}=\sqrt{10}\Leftrightarrow x=3\)

------------------

\(A=\sqrt{x}.\sqrt{2-x}=\sqrt{x(2-x)}\geq 0\) theo tính chất CBH

Vây $A_{\min}=0$ khi $x(2-x)=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$

Mặt khác:

\(A=\sqrt{x(2-x)}=\sqrt{1-(x^2-2x+1)}=\sqrt{1-(x-1)^2}\)

\((x-1)^2\geq 0\Rightarrow 1-(x-1)^2\leq 1\Rightarrow A=\sqrt{1-(x-1)^2}\leq 1\)

Vậy $A_{\max}=1$ khi $(x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1$

-------------------------

\(B=\sqrt{x}+\sqrt{2-x}\)

\(\Rightarrow B^2=(\sqrt{x}+\sqrt{2-x})^2=2+2\sqrt{x(2-x)}=2+2A\)

\(0\leq A\leq 1\)

\(\Rightarrow 2\leq B^2=2+2A\leq 4\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} B\geq \sqrt{2}\\ B\leq 2\end{matrix}\right.\)

Vậy $B_{\min}=\sqrt{2}$ khi $x=0$ hoặc $x=2$

$B_{\max}=2$ khi $x=1$

Akai Haruma
20 tháng 7 2019 lúc 12:01

Bổ sung: Với bài 3 phần cuối bạn có thể sử dụng BĐT sau:

Với $a,b\geq 0$ thì:
\(\sqrt{a+b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \sqrt{2(a+b)}\)

Cách chứng minh rất đơn giản dựa vào bình phương rồi biến đổi tương đương.


Các câu hỏi tương tự
Quốc Sơn
Xem chi tiết
Genevieve Hà
Xem chi tiết
Quốc Sơn
Xem chi tiết
Hoàng Linh Chi
Xem chi tiết
Hoàng Linh Chi
Xem chi tiết
Anh Quynh
Xem chi tiết
Nguyễn Huệ Lam
Xem chi tiết
Quynh Existn
Xem chi tiết
Lê Hương Giang
Xem chi tiết