làm giúp mình câu 46, 47,48 với ạ
46.
\(cos2x+\left(2m+1\right)cosx+2m=0\)
\(\Leftrightarrow2cos^2x-1+\left(2m+1\right)cosx+2m=0\)
\(\Leftrightarrow2cos^2x+cosx-1+2m\left(cosx+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(cosx+1\right)\left(2cosx-1\right)+2m\left(cosx+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(cosx+1\right)\left(2cosx-1+2m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=-1\left(1\right)\\cosx=\dfrac{2m-1}{2}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Do (1) có đúng 1 nghiệm \(x=\pi\) thuộc khoảng đã cho nên pt đã cho có nghiệm duy nhất thuộc \([0;2\pi)\) khi và chỉ khi:
\(\left[{}\begin{matrix}\dfrac{2m-1}{2}=-1\\\dfrac{2m-1}{2}>1\\\dfrac{2m-1}{2}< -1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>\dfrac{3}{2}\\m\le-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
47.
\(\sqrt{3}sinx+cosx=m\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{2}sinx+\dfrac{1}{2}cosx=\dfrac{m}{2}\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{m}{2}\)
Đặt \(x+\dfrac{\pi}{6}=t\Rightarrow t\in\left[0;3\pi\right]\)
Từ đường tròn lượng giác ta thấy \(sint=\dfrac{m}{2}\) trên \(\left[0;3\pi\right]\):
- Có 1 nghiệm khi \(\dfrac{m}{2}=-1\)
- Có 2 nghiệm khi \(-1< \dfrac{m}{2}< 0\) hoặc \(\dfrac{m}{2}=1\)
- Có 4 nghiệm khi \(0\le\dfrac{m}{2}< 1\)
\(\Rightarrow\) Không tồn tại m để pt đã cho có đúng 3 nghiệm trên miền đã cho
Cả 4 đáp án đều sai
48.
\(sin5x=\left(m-2\right)sinx\)
\(\Leftrightarrow sin5x-sinx=\left(m-3\right)sinx\)
\(\Leftrightarrow2cos3x.sin2x-\left(m-3\right)sinx=0\)
\(\Leftrightarrow4cos3x.cosx.sinx-\left(m-3\right)sinx=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=0\left(1\right)\\4cos3x.cosx-m+3=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
(1) có đúng 1 nghiệm \(x=0\) thuộc đoạn đã cho
Xét (2): \(\Leftrightarrow2cos4x+2cos2x-m+3=0\)
\(\Leftrightarrow4cos^22x-2+2cos2x-m+3=0\)
\(\Leftrightarrow4cos^22x+2cos2x+1=m\)
Đặt \(2x=t\in\left[-\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{\pi}{2}\right]\)
\(\Rightarrow4cos^2t+2cost+1=m\)
Trên \(\left[-\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{\pi}{2}\right]\), pt \(cost=k\) có:
- Đúng 1 nghiệm khi \(k=1\) hoặc \(-\dfrac{1}{2}< k< 0\)
- Có 2 nghiệm khi \(0\le k< 1\)
Do đó bài toán thỏa mãn khi: \(4k^2+2k+1=m\) có nghiệm: \(\left[{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{2}< k_1< k_2< 0\\\left[{}\begin{matrix}0\le k_1< 1\le k_2\\k_1< 0\le k_2< 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\\dfrac{3}{4}< m< 7\end{matrix}\right.\)
