24 giờ chính là thời điểm 3 kim trùng nhau.
Sau ít nhất số giờ nữa thì ba kim lại trùng nhau là:
24 - 12 = 12 ( giờ )
Đáp số: 12 giờ
Trong ba kim đồng hồ, kim giờ chạy chậm nhất. Ta tính xem sau chu kỳ bao lâu thì kim phút và kim giây gặp lại kim giờ.
Ta có:
Trong 1 giờ, kim giờ chạy được \(\dfrac{1}{12}\) vòng
Trong 1 giờ, kim phút chạy được 1 vòng
Mỗi giờ kim phút chạy nhanh hơn kim giờ là:
\(1-\dfrac{1}{12}=\dfrac{11}{12}\)(vòng)
Để kim phút gặp lại kim giờ thì kim phút phải chạy nhiều hơn kim giờ đúng 1 vòng. Vậy thời gian để kim phút gặp lại kim giờ là:
\(1:\dfrac{11}{12}=\dfrac{12}{11}\) (giờ)
Tương tự, ta có:
Trong 1 giờ, kim giờ chạy được \(\dfrac{1}{12}\)vòng
Trong 1 giờ, kim giây chạy được 60 vòng
Mỗi giờ kim giây chạy nhanh hơn kim giờ là:
\(60-\dfrac{1}{12}=\dfrac{719}{12}\) (vòng)
Để kim giây gặp lại kim giờ thì kim giây phải chạy nhiều hơn kim giờ đúng 1 vòng. Vậy thời gian để kim giây gặp lại kim giờ là:
\(1:\dfrac{719}{12}=\dfrac{12}{719}\) (giờ)
Như vây:
- Sau các khoảng thời gian: \(\dfrac{12}{719}\) giờ, \(2.\dfrac{12}{719}\) giờ, \(3.\dfrac{12}{719}\) giờ, ..., \(k.\dfrac{12}{719}\) giờ, ... thì kim giây gặp lại kim giờ. (k là số tự nhiên).
- Sau các khoảng thời gian: \(\dfrac{12}{11}\) giờ, \(2.\dfrac{12}{11}\) giờ, \(3.\dfrac{12}{11}\) giờ, ..., \(m.\dfrac{12}{11}\) giờ, ... thì kim phút gặp lại kim giờ. (m là số tự nhiên)
Để ba kim trùng nhau thì kim giây và kim phút cùng gặp lại kim giờ. Tức là:
\(k.\dfrac{12}{719}=\)\(m.\dfrac{12}{11}\)
\(k.11=m.719\)
Các số tự nhiên k và m nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên là: \(k = 719\) và \(m = 11.\)
Tức là sau ít nhất: \(k.\dfrac{12}{719}=719.\dfrac{12}{719}=12\) giờ thì ba kim lại trùng nhau.
Đáp số: \(12\) giờ.
