Bài 3b: Luyện kĩ năng: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
thaoanh le thi thao

HELP ME

A=\(\dfrac{1}{2}C^1_{2n}+\dfrac{1}{4}C^3_{2n}+......+\dfrac{1}{2n}c^{2n-1}_{2n}\)

dùng bằng cách tích phân nha

Akai Haruma
20 tháng 1 2018 lúc 15:43

Lời giải:

Theo nhị thức New-ton:

\((x+1)^{2n}=C^{0}_{2n}+C^{1}_{2n}x+C^2_{2n}x^2+...+C^{2n}_{2n}x^{2n}\)

\((x-1)^n=C^0_{2n}-C^1_{2n}x+C^2_{2n}x^2-.....-C^{2n-1}_{2n}x^{2n-1}+C^{2n}_{2n}x^{2n}\)

Trừ theo vế ta có:

\(\frac{(x+1)^{2n}-(x-1)^{2n}}{2}=C^1_{2n}x+C^3_{2n}x^3+...+C^{2n-1}_{2n}x^{2n-1}\)

\(\Rightarrow \int ^{1}_{0}\frac{(x+1)^{2n}-(x-1)^{2n}}{2}dx=\int ^{1}_{0}(C^1_{2n}x+C^3_{2n}x^3+...+C^{2n-1}_{2n}x^{2n-1})dx\)

Xét vế trái:

\(\text{VT}=\frac{1}{2}\int ^{1}_{0}(x+1)^{2n}d(x+1)-\frac{1}{2}\int ^{1}_{0}(x-1)^{2n}d(x-1)\)

\(=\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\frac{1}{2}\left ( \frac{(x+1)^{2n+1}-(x-1)^{2n+1}}{2n+1} \right )=\frac{2^{2n}-1}{2n+1}\)

Xét vế phải:

\(\text{VP}=\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\left ( \frac{C^{1}_{2n}x^2}{2}+\frac{C^{3}_{2n}x^4}{4}+....+\frac{C^{2n-1}_{2n}x^{2n}}{2n} \right )=\frac{1}{2}C^{1}_{2n}+\frac{1}{4}C^3_{2n}+...+\frac{1}{2n}C^{2n-1}_{2n}\)

Vậy \(A=\frac{2^{2n}-1}{2n+1}\)


Các câu hỏi tương tự
-ios- -Catus-
Xem chi tiết
Nguyễn Kiều Hạnh
Xem chi tiết
Phạm Hoàng Hiệp
Xem chi tiết