Chủ đề / Chương

Bài học

Chủ đề

Đại số lớp 7

Hãy tham gia nhóm Học sinh Hoc24OLM
Zye Đặng

Hàm hằng là gì?

Mọi người giải thích đơn giản hộ mình và cho mình vài cái ví dụ nhé. Mình đang học lớp 7 nhưng gặp phải 1 bài toán có "hàm hằng" nên mình không hiểu lắm :">

Cảm ơn mọi người <3

Bài tập Toán

Lớp 7 Toán Đại số lớp 7

Khách
 
Lê Quỳnh Trang
Lê Quỳnh Trang
12 tháng 3 2017 lúc 14:59

Trong trường hợp 1-chiều, Định lý Lagrange cho ta khẳng định rằng:

Nếu hàm khả vi f:(a, b)\to\mathbb R có đạo hàm

f'(x)=0, \forall x\in (a, b),

thì f là hàm hằng.

Tổng quát hơn, ta xét f là hàm suy rộng trên (a, b) và đạo hàm suy rộng của nó là hàm suy rộng 0 thì f là hàm suy rộng hằng.

Một cách tương tự cho hàm và hàm suy rộng xác định trên miền (mở+liên thông) trong không gian \mathbb R^n. Các bạn thử cụ thể việc tương tự này xem sao?

Quay trở lại trường hợp 1-chiều, hàm lồi trên toàn đường thẳng và bị chặn trên là hàm hằng.

Nhắc lại khái niệm hàm lồi:

f:\mathbb R\to\mathbb R được gọi là hàm lồi nếu

với mọi cặp điểm x_1, x_2 \in\mathbb R ta đều có

f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)\le \dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}.

Nếu hàm khả vi đến cấp 2 ta có thể phát biểu như sau:

Cho f:\mathbb R\to\mathbb R khả vi đến cấp 2 và đạo hàm cấp 2 của nó

f

Khi đó nếu f bị chặn trên, nghĩa là có số M để

f(x)\le M, \forall x\in\mathbb R,

thì f là hàm hằng.

Tuy nhiên có nhiều hàm lồi không có đạo hàm đến cấp 2, chẳng hạn f(x)=|x| hay các hàm có đồ thị tuyến tính từng khúc. Tuy nhiên L. Schwartz chứng minh được rằng

f là hàm lồi khi và chỉ khi nó có đạo hàm suy rộng cấp hai f là độ đo Radon, nghĩa là hàm suy rộng dương

\langle f

hay

\int\limits_{\mathbb R}f(x)\varphi

Ta có thể thấy điều này qua ví dụ f(x)=|x| có f, hay f(x) có đồ thị tuyến tính từng khúc có

f

với x_j là hoành độ điểm gãy, a_j là độ lệch giữa hệ số góc của đoạn phải và đoạn trái được nối với nhau tại điểm x_j.

Một cách tương tự các bạn thử phát biểu cho hàm lõm. Hàm vừa lồi vừa lõm là hàm afin, nghĩa là

f

Khi đó nếu f bị chặn hoặc trên, hoặc dưới thì nó là hàm hằng.

Chú ý rằng, theo Bổ đề Weyl, đạo hàm cấp hai f ở trên có thể hiểu theo nghĩa suy rộng, nghĩa là ta chỉ cần giả sử f\in L^1_{loc}(\mathbb R) có

\int\limits_{\mathbb R}f(x)\varphi

Khi đó nếu f\in L^\infty(\mathbb R) thì nó là hàm hằng.

Phần tiếp theo của bài viết quan tâm đến: với các điều kiện gì đặt lên các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 của hàm xác định trên toàn \mathbb R^n, n\ge 2, thì hàm là hàm hằng? Trả lời câu hỏi này ta thu được các Định lý kiểu Liouville.

Ta bắt đầu với các điều kiện đặt lên đạo hàm riêng cấp 1 và n=2. Chú ý ta có thể coi \mathbb R^2=\mathbb C theo cách (x, y)\mapsto x+iy=z. Ta quan tâm đến các hàm f: \mathbb R^2=\mathbb C\to \mathbb R^2=\mathbb C. Ta có các đạo hàm riêng

f_z=\dfrac{1}{2}(f_x-if_y)=\dfrac{1}{2}(u_x+v_y+i(v_x-u_y)),

f_{\bar{z}}=\dfrac{1}{2}(f_x+if_y)=\dfrac{1}{2}(u_x-v_y+i(v_x+u_y)),

với f=u+iv.

Đến đây ta gặp khái niệm tựa chính quy (quasiregular) sau:

Hàm f\in W^{1, 2}_{loc}(\mathbb C) được gọi là tựa chính quy nếu

|f_{\bar{z}}(z)|\le k|f_z(z)|, a.e. \; z\in\mathbb C,

với hằng số k\in(0, 1).

Khi đó ta có kết quả sau:

Nếu hàm tựa chính quy f thỏa mãn:

\int\limits_{B(0, R)}|f(z)|^2dm(z)\le C(1+R^2), \forall R 0,

thì f là hàm hằng.

Đặc biệt, khi hàm tựa chính quy bị chặn thì nó là hàm hằng.

Để chuyển sang trường hợp \mathbb R^n ta cần quan sát điều kiện tựa chính quy. Để ý:

-) Jacobien

Jf(x, y)=u_x(x, y)v_y(x, y)-u_y(x, y)v_x(x, y)=|f_z(z)|^2-|f_{\bar{z}}(z)|^2,

-) chuẩn của đạo ánh

|Df(x, y)|=\sup\limits_{|h|=1}|Df(x, y)h|=|f_z(z)|+|f_{\bar{z}}(z)|

-) và

\min\limits_{|h|=1}|Df(x, y)h|=|f_z(z)|-|f_{\bar{z}}(z)|

nên f\in W^{1, 2}_{loc}(\mathbb R^2) là tựa chính quy khi và chỉ khi

|f_z(z)|+|f_{\bar{z}}(z)|\le K(|f_z(z)|-|f_{\bar{z}}(z)|), a.e. \; z\in\mathbb C,

hay

|Df(x, y)|^2\le KJf(x, y), a.e. \; (x, y)\in\mathbb R^2,

hoặc

0\le Jf(x, y)\le K\left(\min\limits_{|h|=1}|Df(x, y)h|\right)^2, a.e. \; (x, y)\in\mathbb R^2,

với hằng số K\ge 1.

Giờ ta có thể định nghĩa hàm tựa chính quy trong \mathbb R^n như sau:

Hàm f:\mathbb R^n \to\mathbb R^n, f\in W^{1, n}_{loc}(\mathbb R^n) thỏa mãn

|Df(x)|^n\le KJf(x), a.e.\; x\in\mathbb R^n, \quad\quad\quad(1)

với hằng số K\ge 1,

được gọi là hàm tựa chính quy.

Nhắc lại

-) ma trận đạo ánh Jacobi Df(x)=(D_j f_i)_{1\le i, j\le n}, f=(f_1, \dots, f_n), D_j=\partial/\partial x_j,

-) chuẩn của ma trận đạo ánh Jacobi

|Df(x)|=\sup\limits_{|h|=1}\left(\sum\limits_{i=1}^n\left|\sum\limits_{j=1}^n D_jf_i(x)h_j\right|^2\right)^{1/2},

-) định thức Jacobien của ma trận đạo ánh Jacobi

Jf(x)=det Df(x).

Khi đó ta cũng có

0\le Jf(x)\le K'\left(\min\limits_{|h|=1}|Df(x)h|\right)^n, a.e. \; x\in\mathbb R^n\quad\quad\quad(2)

với hằng số K'\ge 1.

Đặt K_O(f), K_I(f) lần lượt là số nhỏ nhất trong các K, K' thỏa mãn (1), (2).

Trong trường hợp n=2 ta có K_O(f)=K_I(f).

Ta có kết quả sau cho hàm tựa chính quy trong \mathbb R^n, n\ge 2 như sau:

Cho f là hàm tựa chính quy thỏa mãn

\lim\limits_{|x|\to\infty}|x|^{-\alpha}|f(x)|=0

với \alpha=(K_I(f))^{1/(n-1)}. Khi đó f là hàm hằng.

Đặc biệt, nếu hàm tựa chính quy bị chặn thì nó là hàm hằng.

Trong trường hợp n=2, hàm tựa chính quy với hằng số k=0 hay K_I=K_0=1, theo Bổ đề Weyl, là hàm chỉnh hình. Khi đó từng thành phần của nó đều là hàm điều hòa. Ta gặp lại Định lý Liouville cho hàm chỉnh hình trên \mathbb C, cũng như hàm điều hòa trên mặt phẳng.

Chú ý rằng hàm điều hòa là nghiệm của phương trình Laplace, trường hợp đặc biệt của phương trình elliptic. Phần tiếp ta quan tâm đến nghiệm u\in W^{1, 2}_{loc}(\mathbb R^2; \mathbb R) của phương trình elliptic, theo nghĩa suy rộng,

a(x, y)u_{xx}+2b(x, y)u_{xy}+c(x, y)u_{yy}=0,

trong đó a, b, c là các hàm đo được thỏa mãn

\lambda (|\xi|^2+|\eta|^2) \le a(x, y)\xi^2+2b(x, y)\xi\eta+c(x, y)\eta^2\le\Lambda(|\xi|^2+|\eta|^2),

\forall (\xi, \eta)\in\mathbb R^2, a.e.\; (x, y)\in\mathbb R^2,

trong đó \lambda, \Lambda là các hằng số dương.

Khi đó nếu u\in L^\infty(\mathbb R^n) thì nó là hàm hằng.

Ta quan sát lại bài viết:

– bắt đầu xét hàm f:(a, b)\to\mathbb R,

– mở rộng f:\Omega(\subset\mathbb R^n) \to \mathbb R,

– rồi f: \mathbb R^2=\mathbb C\to\mathbb C và f: \mathbb R^n \to \mathbb R^n,

– quay trở lại u: \mathbb R^2 \to \mathbb R.

Tiếp đến ta quan tâm đến nghiệm theo nghĩa suy rộng u\in W^{1, 2}_{loc}(\mathbb R^n; \mathbb R^m) của hệ phương trình elliptic

-\sum\limits_{i, j=1}^n \sum\limits_{\alpha=1}^m D_i(A^{\alpha, \beta}_{i, j}(x)D_j u^{\alpha})=0, \beta=1, \dots, m,\quad\quad(3)

với u=(u^1, \dots, u^m)

và hệ số A^{\alpha, \beta}_{i, j}\in L^\infty(\mathbb R^n) thỏa mãn

\lambda |\xi|^2\le \sum\limits_{1\le \alpha, \beta\le m\atop 1\le i, j \le n}A^{\alpha, \beta}_{i, j}(x)\xi^\alpha_i \xi^\beta_j, \forall \xi\in \mathbb R^n\times \mathbb R^m, a.e. x\in\mathbb R^n.

Khi đó, nếu u(x) có độ tăng không quá đa thức, nghĩa là

|u(x)|\le M(1+|x|^k), a.e. \; x\in\mathbb R^n

thì u(x) là đa thức bậc k, nghĩa là từng thành phần của nó là đa thức bậc k.

Đặc biệt nếu u\in L^\infty(\mathbb R^n) thì nó là hằng số.

Nhắc lại: u\in W^{1, 2}_{loc}(\mathbb R^n; \mathbb R^m) được gọi là nghiệm của hệ (3) nếu

\sum\limits_{1\le \alpha, \beta \le m\atop 1\le i, j\le n}\int\limits_{\mathbb R^n}A^{\alpha, \beta}_{i, j}(x)D_ju^\alpha(x) D_j\phi^\beta(x)dx=0, \forall \phi\in \mathcal D(\mathbb R^n; \mathbb R^m).

Vừa rồi ta xét các hàm xác định trên toàn không gian \mathbb R^n. Trở lại đầu bài các hàm chỉ cần xác định trên miền (mở+liên thông). Cũng cần chú ý việc xác định trên toàn không gian là rất cần qua ví dụ:

– hàm u(x)=\dfrac{1}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{1/2}} là nghiệm bị chặn, khác hằng, của phương trình Laplace ngoài hình tròn đơn vị.

Phần cuối của bài viết ta quay trở lại xét hàm f: \Omega\to\mathbb R, \Omega là miền trong \mathbb R^n. H. Brezis là người đầu tiên đưa ra các điều kiện thú vị dạng tích phân như sau:

Hàm đo được f: \Omega\to\mathbb R thỏa mãn

\int\limits_\Omega\int\limits_\Omega \dfrac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{n+1}}dxdy

thì f là hàm hằng.

Tổng quát hơn một chút, với 1\le p \infty, nếu hàm đo được f: \Omega\to\mathbb R thỏa mãn

\int\limits_\Omega\int\limits_\Omega \dfrac{|f(x)-f(y)|^p}{|x-y|^{n+p}}dxdy

thì f là hàm hằng.

Tổng quát hơn nữa như sau:

Cho họ hàm \{\rho_\epsilon\}_{\epsilon 0} gồm các hàm đo được \rho_\epsilon: [0, \infty)\to[0, \infty) thỏa mãn

\int\limits_{\mathbb R^n}\rho_\epsilon(|x|)dx=1,

\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int\limits_{|x| \delta}\rho_\epsilon(|x|)dx=0, \forall \delta 0;

và hàm lồi \omega:[0, \infty)\to[0, \infty) thỏa mãn

\omega(0)=0, \omega(t) 0 \; khi \; t 0.

Khi đó nếu hàm đo được f:\Omega\to\mathbb R thỏa mãn

\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int\limits_\Omega\int\limits_\Omega\omega\left(\dfrac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}\right)\rho_\epsilon(|x-y|)dxdy=0

thì f là hàm hằng.

Nếu lấy \omega(t)=t^p và

\rho_\epsilon(r)=\begin{cases}\epsilon r^{\epsilon-n} \; khi \; 0 r 1,\\ 0 \; otherwise\end{cases}

ta sẽ có kết quả ngay trên.

R. Ignat lại quan tâm đến vấn đề sau:

Xét tập

W=\{\omega\in C(\mathbb R_+; \mathbb R_+)|\; \omega(0)=0, \omega(t) 0 \; khi \; t 0\}.

Tìm điều kiện cần và đủ cho một hàm \omega\in W để

với bất kỳ hàm đo được f:\Omega\to\mathbb R thỏa mãn

\int\limits_\Omega\int\limits_\Omega \omega\left(\dfrac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}\right)\dfrac{1}{|x-y|^n}dxdy \infty

thì f là hàm hằng.

Ignat đưa ra các điều kiện như sau:

– Điều kiện cần: \int\limits_1^\infty \dfrac{\omega(t)}{t^2}dt=\infty.

– Điều kiện đủ:\liminf\limits_{t\to\infty}\dfrac{\omega(t)}{t} 0.

Bình luận (4)
Các câu hỏi tương tự
Huỳnh Ngọc Quỳnh Hoa
1. Tìm x, y, z. Biết 3(x-1) 2(y-2) 3(z-3) và 2x + 3y + z 502. Tìm 3 phân số có tổng bằng 217/30. Các tử tỉ lệ với 3: 4: 5 và các mẫu tỉ lệ 5: 1: 2. Tìm 3 phân số đó3. Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số đó tỉ lệ làn lượt là 1; 2; 3.Mọi người giải bài tập về nhà hộ mình với, chỉ cần 1 bài mà các bạn biết thôi! Trình bày bài giải luôn giúp mình với nhé! Cảm ơn mọi người rất nhiều!!!!
Đọc tiếp
Xem chi tiết
Lớp 7 Toán Đại số lớp 7
Nguyen Thi Mai

Cách phân biệt bài toán tỉ lệ nghịch và tỉ lệ thuận ( lớp 7 )

Ai học qua rồi thì chỉ mình với nhé, mình vẫn còn lúng túng về 2 đại lượng này, chưa biết áp dụng công thức sao cho đúng. Mong các bạn tận tâm giảng giải giúp mình nhé. Mình cảm ơn rất rất nhiều ạ

Xem chi tiết
Lớp 7 Toán Đại số lớp 7
Hà Chí Hiếu

 

Chỉ làm bài 7, 8 thôi nha mình cẳm ơn 

undefined

 

Mọi người giúp mình với nha , mình đang cần gấp !!

Xem chi tiết
Lớp 7 Toán Đại số lớp 7
Moon_shine

undefinedMọi người giải chi tiết ra cho mình, mình cảm ơn ạ!

 

Xem chi tiết
Lớp 7 Toán Đại số lớp 7
huy bò

Ai có những bài toán nâng cao, mà hay đứng cuối bài thi cho mình mấy bài nhé ( kèm đáp án)

Cảm ơn mọi người nhiềucvui

Xem chi tiết
Lớp 7 Toán Đại số lớp 7
Minh

undefinedundefined

Mọi người giúp mình với ạ ! mai mình phải nộp rồi , mình rất cảm ơn

Xem chi tiết
Lớp 7 Toán Đại số lớp 7
Le Tram Anh
Cho biết ba người làm có ở một cánh đồng hết 6 giờ. Hỏi 12 người ( với cùng năng xuất như thế) làm cỏ cánh đồng đó hết bao nhiêu thời gian.GIÚP MÌNH VS NHA! THANKS MỌI NGƯỜI MONG MỌI NGƯỜI GIÚP ĐỠ VÀ ỦNG HỘ MINK VS. MÌNH ĐANG CÒN NGU LẮM ĐÓ NHA CẦN MỌI NGƯỜI KÈM THEO VÀ GIÚP ĐỠ VÀ ĐÀO TẠO MINK THÊM VÀ MINK SẼ CÓ NHIỀU BẠN LÀM QUEN VS MÌNH CẢM ƠN MỌI NGƯỜI ĐÃ TẬN TÌNH GIÚP ĐỠ
Đọc tiếp
Xem chi tiết
Lớp 7 Toán Đại số lớp 7
Minh

undefinedMọi người ơi , mọi người giúp mình với , mình trân thành cảm ơn

Xem chi tiết
Lớp 7 Toán Đại số lớp 7
Còi Trâm

Mọi người giúp mình bài này với nhé

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

D = \(\frac{2.\left[x\right]+3}{3.\left[x\right]-1}\) ( [ ] là trị tuyệt đối nha mọi người )

Mong mọi người giúp mình giải bài này với nhé

Xem chi tiết
Lớp 7 Toán Đại số lớp 7

Khoá học trên OLM (olm.vn)


Khoá học trên OLM (olm.vn)