Trong trường hợp 1-chiều, Định lý Lagrange cho ta khẳng định rằng:
Nếu hàm khả vi có đạo hàm
thì là hàm hằng.
Tổng quát hơn, ta xét là hàm suy rộng trên
và đạo hàm suy rộng của nó là hàm suy rộng
thì
là hàm suy rộng hằng.
Một cách tương tự cho hàm và hàm suy rộng xác định trên miền (mở+liên thông) trong không gian Các bạn thử cụ thể việc tương tự này xem sao?
Quay trở lại trường hợp 1-chiều, hàm lồi trên toàn đường thẳng và bị chặn trên là hàm hằng.
Nhắc lại khái niệm hàm lồi:
được gọi là hàm lồi nếu
với mọi cặp điểm ta đều có
Nếu hàm khả vi đến cấp 2 ta có thể phát biểu như sau:
Cho khả vi đến cấp 2 và đạo hàm cấp 2 của nó
Khi đó nếu bị chặn trên, nghĩa là có số
để
thì là hàm hằng.
Tuy nhiên có nhiều hàm lồi không có đạo hàm đến cấp 2, chẳng hạn hay các hàm có đồ thị tuyến tính từng khúc. Tuy nhiên L. Schwartz chứng minh được rằng
là hàm lồi khi và chỉ khi nó có đạo hàm suy rộng cấp hai
là độ đo Radon, nghĩa là hàm suy rộng dương
hay
Ta có thể thấy điều này qua ví dụ có
, hay
có đồ thị tuyến tính từng khúc có
với là hoành độ điểm gãy,
là độ lệch giữa hệ số góc của đoạn phải và đoạn trái được nối với nhau tại điểm
.
Một cách tương tự các bạn thử phát biểu cho hàm lõm. Hàm vừa lồi vừa lõm là hàm afin, nghĩa là
Khi đó nếu bị chặn hoặc trên, hoặc dưới thì nó là hàm hằng.
Chú ý rằng, theo Bổ đề Weyl, đạo hàm cấp hai ở trên có thể hiểu theo nghĩa suy rộng, nghĩa là ta chỉ cần giả sử
có
Khi đó nếu thì nó là hàm hằng.
Phần tiếp theo của bài viết quan tâm đến: với các điều kiện gì đặt lên các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 của hàm xác định trên toàn thì hàm là hàm hằng? Trả lời câu hỏi này ta thu được các Định lý kiểu Liouville.
Ta bắt đầu với các điều kiện đặt lên đạo hàm riêng cấp 1 và Chú ý ta có thể coi
theo cách
Ta quan tâm đến các hàm
. Ta có các đạo hàm riêng
,
,
với
Đến đây ta gặp khái niệm tựa chính quy (quasiregular) sau:
Hàm được gọi là tựa chính quy nếu
với hằng số
Khi đó ta có kết quả sau:
Nếu hàm tựa chính quy thỏa mãn:
thì là hàm hằng.
Đặc biệt, khi hàm tựa chính quy bị chặn thì nó là hàm hằng.
Để chuyển sang trường hợp ta cần quan sát điều kiện tựa chính quy. Để ý:
-) Jacobien
,
-) chuẩn của đạo ánh
-) và
nên là tựa chính quy khi và chỉ khi
hay
hoặc
với hằng số .
Giờ ta có thể định nghĩa hàm tựa chính quy trong như sau:
Hàm thỏa mãn
với hằng số
được gọi là hàm tựa chính quy.
Nhắc lại
-) ma trận đạo ánh Jacobi
-) chuẩn của ma trận đạo ánh Jacobi
-) định thức Jacobien của ma trận đạo ánh Jacobi
Khi đó ta cũng có
với hằng số
Đặt lần lượt là số nhỏ nhất trong các
thỏa mãn (1), (2).
Trong trường hợp ta có
Ta có kết quả sau cho hàm tựa chính quy trong như sau:
Cho là hàm tựa chính quy thỏa mãn
với Khi đó
là hàm hằng.
Đặc biệt, nếu hàm tựa chính quy bị chặn thì nó là hàm hằng.
Trong trường hợp , hàm tựa chính quy với hằng số
hay
, theo Bổ đề Weyl, là hàm chỉnh hình. Khi đó từng thành phần của nó đều là hàm điều hòa. Ta gặp lại Định lý Liouville cho hàm chỉnh hình trên
cũng như hàm điều hòa trên mặt phẳng.
Chú ý rằng hàm điều hòa là nghiệm của phương trình Laplace, trường hợp đặc biệt của phương trình elliptic. Phần tiếp ta quan tâm đến nghiệm của phương trình elliptic, theo nghĩa suy rộng,
trong đó là các hàm đo được thỏa mãn
trong đó là các hằng số dương.
Khi đó nếu thì nó là hàm hằng.
Ta quan sát lại bài viết:
– bắt đầu xét hàm ,
– mở rộng ,
– rồi và
,
– quay trở lại
Tiếp đến ta quan tâm đến nghiệm theo nghĩa suy rộng của hệ phương trình elliptic
với
và hệ số thỏa mãn
Khi đó, nếu có độ tăng không quá đa thức, nghĩa là
thì là đa thức bậc
nghĩa là từng thành phần của nó là đa thức bậc
Đặc biệt nếu thì nó là hằng số.
Nhắc lại: được gọi là nghiệm của hệ (3) nếu
Vừa rồi ta xét các hàm xác định trên toàn không gian Trở lại đầu bài các hàm chỉ cần xác định trên miền (mở+liên thông). Cũng cần chú ý việc xác định trên toàn không gian là rất cần qua ví dụ:
– hàm là nghiệm bị chặn, khác hằng, của phương trình Laplace ngoài hình tròn đơn vị.
Phần cuối của bài viết ta quay trở lại xét hàm là miền trong
H. Brezis là người đầu tiên đưa ra các điều kiện thú vị dạng tích phân như sau:
Hàm đo được thỏa mãn
thì là hàm hằng.
Tổng quát hơn một chút, với nếu hàm đo được
thỏa mãn
thì là hàm hằng.
Tổng quát hơn nữa như sau:
Cho họ hàm gồm các hàm đo được
thỏa mãn
và hàm lồi thỏa mãn
Khi đó nếu hàm đo được thỏa mãn
thì là hàm hằng.
Nếu lấy và
ta sẽ có kết quả ngay trên.
R. Ignat lại quan tâm đến vấn đề sau:
Xét tập
.
Tìm điều kiện cần và đủ cho một hàm để
với bất kỳ hàm đo được thỏa mãn
thì là hàm hằng.
Ignat đưa ra các điều kiện như sau:
– Điều kiện cần:
– Điều kiện đủ: