Ta có:
\(BĐT\Leftrightarrow2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-a^4-b^4-c^4>0\)
\(\Leftrightarrow4a^2b^2-\left(a^2+b^2\right)^2+2c^2\left(a^2+b^2\right)-c^4>0\)
\(\Leftrightarrow\left(2ab\right)^2-\left[\left(a^2+b^2\right)^2-2c^2\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2\right)^2\right]>0\)
\(\Leftrightarrow\left(2ab\right)^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2>0\)
\(\Leftrightarrow\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\left[c^2-\left(a+b\right)^2\right]>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(c+b-a\right)\left(c+a-b\right)>0\) (1)
Vì a,b,c lần lượt là độ dài 3 cạnh của tam giác
\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng
Vậy \(a^4+b^4+c^4< 2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\)
