Lời giải:
Không mất tính tổng quát giả sử \(x\geq y\)
Khi đó: \(100=x^y+y^x\geq y^y+y^y=2y^y\)
\(\Rightarrow 50\geq y^y\)
Nếu \(y>3\) thì \(50\geq y^y>y^3\Rightarrow 4>\sqrt[3]{50}>y\)
\(\Rightarrow 3< y< 4\) (vô lý)
Do đó $y\leq 3$. Với $y\in\mathb{Z}^+$ ta có \(y\in\left\{1;2;3\right\}\)
TH1: \(y=1\)
\(100=x^y+y^x=x+1^x=x+1\Rightarrow x=99\) (thỏa mãn)
TH2: \(y=2\Rightarrow 100=x^2+2^x\)
\(\Rightarrow 2^x=100-x^2< 100\Rightarrow x< 7\). Mà $x^2=100-2^x$ chẵn nên $x$ chẵn. Do đó $x$ có thể nhận giá trị $2;4;6$. Thử 3 giá trị ta thấy $x=6$ thỏa mãn
TH3: \(y=3\Rightarrow 100=x^y+y^x=x^3+3^x\Rightarrow x^3=100-3^x< 100\Rightarrow x<5\)
Mà $x\geq y=3$ nên $x$ có thể nhận giá trị $3;4$. Thử 2 giá trị ta thấy không giá trị nào thỏa mãn
Vậy $(x,y)=(99,1); (6,2)$
