Bài 7:
Giả sử $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ. Khi đó:
$\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ với $a,b\in\mathbb{N}^*; (a,b)=1$
$\Leftrightarrow 2=\frac{a^2}{b^2}$
$\Leftrightarrow a^2=2b^2\vdots 2$
$\Rightarrow a\vdots 2$ (do $2$ là snt)
$\Rightarrow a^2=2b^2\vdots 4$
$\Rightarrow b^2\vdots 2\Rightarrow b\vdots 2$
Như vậy $a\vdots 2; b\vdots 2$ (vi phạm giả thiết $(a,b)=1$)
Vậy điều giả sử là sai, tức là $\sqrt{2}$ là số vô tỷ.
Bài 8,9,10 chứng minh tương tự.
Bài 11:
Giả sử $\sqrt{2}+5\sqrt{3}$ là số hửu tỉ.
Đặt $\sqrt{2}+5\sqrt{3}=a\in\mathbb{Q}$
$\Leftrightarrow 5\sqrt{3}=a-\sqrt{2}$
$\Rightarrow 75=a^2+2-2a\sqrt{2}$
$\Rightarrow 2a\sqrt{2}=a^2-73$
$\Rightarrow \sqrt{2}=\frac{a^2-73}{2a}\in\mathbb{Q}$ với $a\in\mathbb{Q}$
Điều này sai theo kết quả bài 1
Vậy điều giả sử là sai. Tức $\sqrt{2}+5\sqrt{3}$ là số vô tỷ.
Bài 12.
Giả sử $\sqrt[3]{3}$ là số hữu tỉ. Khi đó đặt $\sqrt[3]{3}=\frac{a}{b}$ với $a,b\in\mathbb{N}^*, (a,b)=1$
Ta có: $\sqrt[3]{3}=\frac{a}{b}$
$3=\frac{a^3}{b^3}$
$a^3=3b^3\vdots 3\Rightarrow a\vdots 3$
$\Rightarrow 3b^3=a^3\vdots 3^3$
$\Rightarrow b^3\vdots 3$
$\Rightarrow b\vdots 3$
Ta thu được $a\vdots 3, b\vdots 3$ (trái giả thiết $(a,b)=1$)
Vậy điều giả sử là sai, tức $\sqrt[3]{3}$ là số vô tỉ.
