Theo đề bài, ta có :
\(\frac{h_a}{4}=\frac{h_b}{5}=\frac{h_c}{6}=k\) ; \(AB+AC+BC=37cm\)
\(\Rightarrow h_a=4k\) ; \(h_b=5k\) ; \(h_c=6k\)
Ta có : Diện tích của \(\Delta ABC\) là :
\(\frac{1}{2}h_{a^{ }}BC=\frac{1}{2}h_bAC=\frac{1}{2}h_cAB\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}4k.BC=\frac{1}{2}5k\cdot AC=\frac{1}{2}6k\cdot AB\)
\(\Rightarrow2k\cdot BC=\frac{5}{2}k\cdot AC=3k\cdot AB\\ \Rightarrow2BC=\frac{5}{2}AC=3AB\)
\(\Rightarrow\frac{1}{30}\cdot2BC=\frac{1}{30}\cdot\frac{5}{2}AC=\frac{1}{30}\cdot3AB\\ \Rightarrow\frac{BC}{15}=\frac{AC}{12}=\frac{AB}{10}\Rightarrow\frac{BC+AC+AB}{5+12+10}=\frac{37}{37}=1\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}BC=1\cdot15=15cm\\AC=1\cdot12=12cm\\AB=1\cdot10=10cm\end{matrix}\right.\)
Vậy độ dài cạnh nhỏ nhất của \(\Delta ABC\) là 10cm
