\(\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{-x^2+x+1}=x^2-x+2\)
ĐKXĐ: \(x^2+x-1\ge0\),\(-x^2+x+1\ge0\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM dạng \(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\) (a,b không âm) ta có:
\(\sqrt{x^2+x-1}=\sqrt{\left(x^2+x-1\right).1}\le\dfrac{\left(x^2+x-1\right)+1}{2}=\dfrac{x^2+x}{2}\)
\(\sqrt{-x^2+x+1}=\sqrt{\left(-x^2+x+1\right).1}\le\dfrac{\left(-x^2+x+1\right)+1}{2}=\dfrac{-x^2+x+1+1}{2}=\dfrac{-x^2+x+2}{2}\)Cộng vế theo vế ta được :
\(\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{-x^2+x+1}\le\dfrac{x^2+x-x^2+x+2}{2}=x+1\)
\(\Leftrightarrow x^2-x+2\le x+1\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2x+1\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\le0\)
Mà \(\left(x-1\right)^2\ge0\) với mọi x
Nên \(\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x=1\) (thoả mãn đkxđ)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=1
