Ta có 5x -3 + 4x + 8 = 9x +5
Đặt 5x -3 = a , 4x + 8 = b , ta có phương trình tương đương
\(â^3+b^3=\left(a+b\right)^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)-a^3-b^3=0\)
\(\Rightarrow3ab\left(a+b\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3ab=0\\a+b=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}a=0\\b=0\end{matrix}\right.\\a+b=0\end{matrix}\right.\)
Đến đây dễ rồi, thay vào tìm x , y là xong
\(\)
Trước hết ta chứng minh tính chất quen thuộc: cho 3 số thực \(a;b;c\) sao cho \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Thật vậy, ta có: \(a^3+b^3+c^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^3-3ab\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(-c\right)\) (do \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\))
\(=\left(a+b+c\right)\left(\left(a+b\right)^2-\left(a+c\right)c+c^2\right)+3abc\)
\(=3abc\)
Áp dụng vào bài toán, pt đã cho tương đương:
\(\left(5x-3\right)^3+\left(4x+8\right)^3-\left(9x+5\right)^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(5x-3\right)^3+\left(4x+8\right)^3+\left(-9x-5\right)^3=0\) (1)
Do \(\left(5x-3\right)+\left(4x+8\right)+\left(-9x-5\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(5x-3\right)^3+\left(4x+8\right)^3+\left(-9x-5\right)^3=3\left(5x-3\right)\left(4x+8\right)\left(-9x-5\right)\)
Vậy \(\left(1\right)\Rightarrow3.\left(5x-3\right)\left(4x+8\right)\left(-9x-5\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}5x-3=0\\4x+8=0\\-9x-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{3}{5}\\x=-2\\x=\frac{-5}{9}\end{matrix}\right.\)
Công thức : \(a^3+b^3+c^3=3abc\)bổ đề khá hay :))
\(\left(5x-3\right)^3+\left(4x+8\right)^3=\left(9x+5\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\left(5x-3\right)^3+\left(4x+8\right)^3-\left(9x+5\right)^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(5x-3\right)^3+\left(4x+8\right)^3+\left(-9x-5\right)^3=0\)
\(\Leftrightarrow3\left(5x-3\right)\left(4x+8\right)\left(-9x-5\right)=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{5};x=-2;x=-\frac{5}{9}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { -2 ; -5/9 ; 3/5 }
