Question

Giải phương trình :

                     \(x+\sqrt{x^2+1}=3^x\)

Answer 1

Ta có \(x+\sqrt{x^2+1}=3^x\Leftrightarrow3^x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=1\)

Xét hàm số : \(f\left(x\right)=3^x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\) có :

\(f'\left(x\right)=3^x\ln3\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)+3\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-1\right)\)

         \(=3\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\ln3-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)>0\)

Vì \(\sqrt{x^2+1}>x\) và \(\ln3>1\ge\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\) nên hàm số \(f\left(x\right)\) đồng biến

Mặt khác \(f\left(0\right)=1\) do đó \(x=0\) là nghiệm duy nhất của phương trình