Question

Giải phương trình sau:

\(\sqrt{2-x^2+2x}+\sqrt{-x^2-6x-8}=1+\sqrt{3}\)

Answer 1

Ta thấy: \(\sqrt{-x^2-6x-8}=\sqrt{-x^2-6x-9+1}\)

\(=\sqrt{-\left(x^2+6x+9\right)+1}=\sqrt{-\left(x+3\right)^2+1}\le1\)

Và \(\sqrt{2-x^2+2x}=\sqrt{-x^2+2x+2}=\sqrt{-x^2+2x-1+3}\)

\(=\sqrt{-\left(x^2-2x+1\right)+3}=\sqrt{-\left(x-1\right)^2+3}\le\sqrt{3}\)

Cộng theo vế 2 BĐT trên ta có:

\(VT\le VP\) xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{-\left(x-1\right)^2+3}=\sqrt{3}\\\sqrt{-\left(x+3\right)^2+1}=1\end{matrix}\right.\)

Lại có x không thể tồn tại 2 giá trị cùng lúc

Suy ra vô nghiệm