Bài 3:
PT \(\Leftrightarrow x^2y+xy^2-(x^2+y^2)-1=0\)
\(\Leftrightarrow xy(x+y)-[(x+y)^2-2xy]-1=0\)
\(\Leftrightarrow ab-(a^2-2b)-1=0\) (đặt $x+y=a; xy=b$)
\(\Leftrightarrow a^2-ab-2b+1=0\)
\(\Leftrightarrow a^2-b(a+2)+1=0\)
\(\Leftrightarrow b(a+2)=a^2+1\)
Nếu $a+2=0$ thì $a=-2$
$\Rightarrow b.0=5$ (vô lý). Do đó $a+2\neq 0$
$\Rightarrow b=\frac{a^2+1}{a+2}$.
Với $x,y$ nguyên thì $a,b$ nguyên. Để $b$ nguyên thì $a^2+1\vdots a+2$
$\Leftrightarrow (a-2)(a+2)+5\vdots a+2$
$\Leftrightarrow 5\vdots a+2$
$\Rightarrow a+2\in\left\{\pm 1;\pm 5\right\}$
$\Rightarrow a\in\left\{-3; -1; -7; 3\right\}$
$\Rightarrow b\in\left\{-10; 2; -10; 2\right\}$ (tương ứng)
Với $(a,b)=(-3,-10)$, áp dụng đly Vi-et đảo thì $x,y$ sẽ là nghiệm của PT $X^2+3X-10=0$ $\Rightarrow (x,y)=(2,-5)$ và hoán vị.
Tương tự với các TH còn lại ta thu được: $(x,y)=(2,1); (2,-5)$ và các hoán vị.
Bài 4: Ta xét các TH sau:
TH1 $x\geq 1$
\(x^6+3x^3+1>x^6=(x^3)^2\)
\(x^6+3x^3+1=(x^3+2)^2-x^3-3< (x^3+2)^2\)
\(\Rightarrow (x^3)^2< x^6+3x^3+1< (x^3+2)^2\)
\(\Leftrightarrow (x^3)^2< y^4< (x^3+2)^2\)
Theo nguyên lý kẹp thì $y^4=(x^3+1)^2$
$\Leftrightarrow x^6+3x^3+1=(x^3+1)^2$
$\Leftrightarrow x=0$ (loại vì $x\geq 1$)
TH2: $x=0; x=-1$ thì ta thấy $x=0$ thỏa mãn, kéo theo $y=\pm 1$
TH3: $x\leq -2\rightarrow x^3\leq -8$. Do đó:
\(x^6+3x^3+1\leq x^6+2x^3+(-8)+1< (x^3+1)^2\)
\(x^6+3x^3+1=x^6+4x^3-x^3-1\geq x^6+4x^3+9>(x^3+2)^2\)
\(\Rightarrow (x^3+1)^2> x^6+3x^3+1> (x^3+2)^2\)
\(\Rightarrow (x^3+1)^2>y^4> (x^3+2)^2\) (vô lý theo nguyên lý kẹp)
Vậy $(x,y)=(0,\pm 1)$
Bài 1:
Ta liên tưởng đến đẳng thức rất quen thuộc là:
\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)\). Áp dụng vào bài toán:
\(x^3-y^3=3xy+1\)
\(\Leftrightarrow x^3+(-y)^3+(-1)^3-3x(-y)(-1)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y-1)(x^2+y^2+1+xy+x-y)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x-y-1=0\\ x^2+y^2+1+xy+x-y=0\end{matrix}\right.\)
Nếu $x-y-1=0\Rightarrow x=y+1$. PT có vô số nghiệm $(x,y)=(m+1,m)$ với $m$ là số nguyên bất kỳ.
Nếu $x^2+y^2+1+xy+x-y=0$
$\Leftrightarrow \frac{(x+y)^2+(x+1)^2+(y-1)^2}{2}=0$
$\Leftrightarrow (x+y)^2=(x+1)^2=(y-1)^2=0\Leftrightarrow x=-1; y=1$
Bài 2:
PT \(\Leftrightarrow 4x^2+8y^2+12xy+12x+20y=56\)
\(\Leftrightarrow (4x^2+9y^2+12xy)+12x+20y-y^2=56\)
\(\Leftrightarrow (2x+3y)^2+6(2x+3y)+9-y^2+2y=65\)
\(\Leftrightarrow (2x+3y+3)^2-(y^2-2y+1)=64\)
\(\Leftrightarrow (2x+3y+3)^2-(y-1)^2=64\)
\(\Leftrightarrow (2x+3y+3-y+1)(2x+3y+3+y-1)=64\)
\(\Leftrightarrow (2x+2y+4)(2x+4y+2)=64\)
\(\Leftrightarrow (x+y+2)(x+2y+1)=16=1.16=(-1)(-16)=4.4=.....\)
Đây là dạng phương trình tích quen thuộc. Đến đây ta xét các TH để tìm được $x,y$ thỏa mãn.
Bài 2 (cách khác):
PT tương đương với: \(x^2+x(3y+3)+(2y^2+5y-14)=0\)
Coi đây là PT bậc 2 ẩn $x$. Để PT có nghiệm nguyên thì $\Delta$ phải là 1 số chính phương
$\Leftrightarrow (3y+3)^2-4(2y^2+5y-14)=t^2$ ($t\in\mathbb{Z}$)
$\Leftrightarrow y^2-2y+65=t^2$
$\Leftrightarrow (y-1)^2+64=t^2$
$\Leftrightarrow 64=(t-y-1)(t+y-1)$.....
Đây cũng là 1 dạng PT tích quen thuộc....
