Lời giải:
Với những bài mũ 3 nghiệm xấu như thế này thì em nên dùng phương pháp Cardano nhé.
Ta có: \((x+1)^2+\frac{2}{x}=-3\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x+1+\frac{2}{x}=-3\)
\(\Leftrightarrow x^3+2x^2+4x+2=0\) (*)
Đặt \(x=t-\frac{8}{9t}-\frac{2}{3}\). Thay vào (*) ta có:
\(\left(t-\frac{8}{9t}-\frac{2}{3}\right)^3+2\left(t-\frac{8}{9t}-\frac{2}{3}\right)^2+4\left(t-\frac{8}{9t}-\frac{2}{3}\right)+2=0\)
\(\Leftrightarrow t^3-\frac{512}{729t^3}-\frac{2}{27}=0\)
\(\Leftrightarrow 729t^6-54t^3-512=0\)
Đặt \(t^3=k\Rightarrow 729k^2-54k-512=0\)
\(\Leftrightarrow (27k-1)^2=513\Rightarrow \) \(\left[{}\begin{matrix}k=\dfrac{1+3\sqrt{57}}{27}\\k=\dfrac{1-3\sqrt{57}}{27}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow t=\sqrt[3]{k}\Leftrightarrow t=\frac{\sqrt[3]{1\pm 3\sqrt{57}}}{3}\)
Vì \(x=t-\frac{8}{9t}-\frac{2}{3}\) nên thay vào ta thu được:
\(x=\frac{\sqrt[3]{1\pm 3\sqrt{57}}}{3}-\frac{8}{3\sqrt[3]{1\pm 3\sqrt{57}}}-\frac{2}{3}\)
