Question

Giải phương trình: \(\left(2x+3\right)\sqrt{2x+3}=x^2+5x+3\)

Answer 1

Lời giải:

Đặt \(\sqrt{2x+3}=t(t\geq 0)\)

PT tương đương:

\(4(2x+3)\sqrt{2x+3}=4x^2+20x+12\)

\(\Leftrightarrow 4(2x+3)\sqrt{2x+3}=(2x+3)^2+4(2x+3)-9\)

\(\Leftrightarrow 4t^3=t^4+4t^2-9\)

\(\Leftrightarrow t^4-4t^3+4t^2-9=0\)

\(\Leftrightarrow t^3(t-3)-t^2(t-3)+(t-3)(t+3)=0\)

\(\Leftrightarrow (t-3)(t^3-t^2+t+3)=0\)

\(\Leftrightarrow (t-3)(t+1)(t^2-2t+3)=0\)

Vì \(t\geq 0\Rightarrow t+1\geq 1>0\)

\(t^2-2t+3=(t-1)^2+2\geq 2>0\forall t\in\mathbb{R}\)

Do đó \(t-3=0\Leftrightarrow t=3\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2x+3}=3\Leftrightarrow 2x+3=9\Leftrightarrow x=3\)

Vậy \(x=3\)