Question

Giải phương trình :

\(3^{\sin^2x}+3^{\cos^2x}=2^x+2^{-2}+2\)

Answer 1

\(\Leftrightarrow\frac{3^{\sin^2x}+3}{3^{\sin^2x}}-4=2^{2.\frac{x}{2}}+2^{2.\frac{-x}{2}}-2\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(3^{\sin^2x}-1\right)\left(3^{\sin^2x}-3\right)}{3^{\sin^2x}}=\left(2^{\frac{x}{2}}-2^{\frac{-x}{2}}\right)^2\)

Vì 0 \(\le\sin^2x\)\(\le1\) nên  1 \(\le3\sin^2x\)\(\le3\) . Suy ra  Vế trái \(\le0\)\(\le\)  vế phải và phương trình tương đương với hệ :

\(\begin{cases}\left(3^{\sin^2x}-1\right)\left(3^{\sin^2x}-3\right)=0\\2^{\frac{x}{2}}-2^{\frac{-x}{2}}=0\end{cases}\)

Từ phương trình thứ 2, dễ dàng suy ra x=0 (thỏa mãn). Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.