Câu hỏi của Nguyen

Question

Giải hpt:

$\left\{{}\begin{matrix}2\left(y^2-x^2\right)=\frac{14}{x}-\frac{13}{y}\4\left(x^2+y^2\right)=\frac{14}{x}+\frac{13}{y}\end{matrix}\right.$

tthAkai Haruma

Diệu Huyền · Accepted Answer

$Đkxđ:x,y\ne0$

Lần lượt cộng, trừ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ theo vế ta được:

$\left\{{}\begin{matrix}2\left(y^2-x^2\right)=\frac{14}{x}-\frac{13}{y}\4\left(y^2+x^2\right)=\frac{14}{x}+\frac{13}{y}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(y^2-x^2\right)+4\left(y^2+x^2\right)=\frac{14}{x}-\frac{13}{y}+\frac{14}{x}+\frac{13}{y}\2\left(y^2-x^2\right)-4\left(y^2+x^2\right)=\frac{14}{x}-\frac{13}{y}-\frac{14}{x}-\frac{13}{y}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3+3xy^3=14\left(3\right)\y^3+3x^2y=13\left(4\right)\end{matrix}\right.$

Từ $\left(3\right)\left(4\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3+3xy^2+y^3+3x^2y=14+13\x^3+3xy^2-y^3-3x^2y=14-13\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^3=3^3\\left(x-y\right)^3=1^3\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=3\x-y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\y=1\end{matrix}\right.$

Thay $x=2;y=1$ vào hệ pt ban đầu ta thấy thỏa mãn.

Vậy hệ pt có nghiệm là $x=2;y=1$Câu trả lời: $Đkxđ:x,y\ne0$

Lần lượt cộng, trừ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ theo vế ta được:

$\left\{{}\begin{matrix}2\left(y^2-x^2\right)=\frac{14}{x}-\frac{13}{y}\4\left(y^2+x^2\right)=\frac{14}{x}+\frac{13}{y}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(y^2-x^2\right)+4\left(y^2+x^2\right)=\frac{14}{x}-\frac{13}{y}+\frac{14}{x}+\frac{13}{y}\2\left(y^2-x^2\right)-4\left(y^2+x^2\right)=\frac{14}{x}-\frac{13}{y}-\frac{14}{x}-\frac{13}{y}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3+3xy^3=14\left(3\right)\y^3+3x^2y=13\left(4\right)\end{matrix}\right.$

Từ $\left(3\right)\left(4\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3+3xy^2+y^3+3x^2y=14+13\x^3+3xy^2-y^3-3x^2y=14-13\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^3=3^3\\left(x-y\right)^3=1^3\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=3\x-y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\y=1\end{matrix}\right.$

Thay $x=2;y=1$ vào hệ pt ban đầu ta thấy thỏa mãn.

Vậy hệ pt có nghiệm là $x=2;y=1$

Trần Thanh Phương · Answer

Cách khác.

$\left\{{}\begin{matrix}2\left(y^2-x^2\right)=\frac{14}{x}-\frac{13}{y}\left(1\right)\4\left(x^2+y^2\right)=\frac{14}{x}+\frac{13}{y}\left(2\right)\end{matrix}\right.$ $\left(x;y\ne0\right)$

Nhân theo vế 2 phương trình ta được:

$2\left(y^2-x^2\right)\left(\frac{14}{x}+\frac{13}{y}\right)=4\left(x^2+y^2\right)\left(\frac{14}{x}-\frac{13}{y}\right)$

$\Leftrightarrow\frac{26x^2}{y}-\frac{28y^2}{x}-84x+78y=0$

$\Leftrightarrow26x^3-28y^3-84x^2y+78xy^2=0$

Vì $y\ne0$ nên chia cả 2 vế của pt cho $y^3\ne0$ ta được :

$\frac{26x^3}{y^3}-28-\frac{84x^2}{y^2}+\frac{78x}{y}=0$

Đặt $\frac{x}{y}=t$

pt $\Leftrightarrow26t^3-84t^2+78t-28=0$

$\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(13t^2-16t+7\right)=0$

Vì $13t^2-16t+7>0\forall t$$\Rightarrow t-2=0\Leftrightarrow t=2$

Khi đó $\frac{x}{y}=2\Leftrightarrow x=2y$

Thay $x=2y$ vào pt (1) ta được:

$2\left(y^2-4y^2\right)=\frac{14}{2y}-\frac{13}{y}$

$\Leftrightarrow-6y^2=-6y$

$\Leftrightarrow6y\left(y-1\right)=0$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\left(loai\right)\y=1\left(chon\right)\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\y=1\end{matrix}\right.$ ( thỏa mãn )

Vậy tập nghiệm của hệ là $\left(x;y\right)=\left(2;1\right)$Câu trả lời: Cách khác.