Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Bùi Đức Anh

Giải hệ pt sau \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-xy+y^2=3\\z^2+yz+1=0\end{matrix}\right.\)

Trương Huy Hoàng
11 tháng 1 2021 lúc 22:21

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-xy+y^2=3\\z^2+yz+1=0\end{matrix}\right.\)

Cộng 2 vế của 2 BĐT trên ta được:

x2 - xy + y2 + z2 + yz + 1 = 3

\(\Leftrightarrow\) 2x2 - 2xy + 2y2 + 2z2 + 2yz - 4 = 0

\(\Leftrightarrow\) x2 - 2xy + y2 + y2 + 2yz + z2 + x2 - 4 + z2 = 0

\(\Leftrightarrow\) (x - y)2 + (y + z)2 + z2 + (x - 2)(x + 2) = 0

Ta có: (x - y)\(\ge\) 0 với mọi x; y

(y + z)\(\ge\) 0 với mọi y; z

z2 \(\ge\) 0 với mọi z

\(\Rightarrow\) (x - y)2 + (y + z)2 + z\(\ge\) 0 với mọi x; y; z

\(\Rightarrow\) (x - 2)(x + 2) \(\ge\) 0 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2-y=0\\y+z=0\\z=0\\\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Với x = 2 ta có: (2 - y)2 + (y + z)2 + z2 = 0

Dấu "=" xảy ra 

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2-y=0\\y+z=0\\z=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\\z=0\end{matrix}\right.\)

Thử lại thấy KTM

Với x = -2 ta có: (-2 - y)2 + (y + z)2 + z2 = 0

Dấu "=" xảy ra

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}-2-y=0\\y+z=0\\z=0\end{matrix}\right.\) (Vô nghiệm)

Vậy hpt vô nghiệm 

Mk ko chắc lắm ;-; (ko bt đúng ko :v)

 

Trần Minh Hoàng
11 tháng 1 2021 lúc 22:56

Xét pt thứ 2 là pt bậc 2 so với ẩn z.

Ta có \(\Delta=y^2-4\ge0\Leftrightarrow y^2\ge4\).

Do đó ta có: \(x^2-xy+y^2=\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2\ge3\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(y^2=4;x=\dfrac{1}{2}y\).

+) y = 2 \(\Rightarrow x=1;z=-1\).

+) \(y=-2\Rightarrow x=-1;z=1\).


Các câu hỏi tương tự
Black heart
Xem chi tiết
Black heart
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
:vvv
Xem chi tiết
Cô Pê
Xem chi tiết
:vvv
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Hồng Nhung
Xem chi tiết
๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG
Xem chi tiết