Ta có \(x^2+y^2+z^2=6\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+xz+yz\right)=6\Leftrightarrow2^2-2\left(xy+xz+yz\right)=6\Leftrightarrow xy+xz+yz=-1\)
Ta lại có \(x^3+y^3+z^3=8\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)+3xyz=8\Leftrightarrow2\left[6-\left(-1\right)\right]+3xyz=8\Leftrightarrow3xyz=-6\Leftrightarrow xyz=-2\)
Vậy ta sẽ có hệ phương trình mới
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=2\\xy+xz+yz=-1\\xyz=-2\end{matrix}\right.\)
Coi x,y,z là nghiệm x1,x2,x3 của một phương trình bậc 3, theo công thức Vi-ét, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2+x_3=2\\x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-1\\x_1x_2x_3=-2\end{matrix}\right.\)
Suy ra x1,x2,x3 là ba nghiệm của 1 phương trình
\(x^3-2x^2-x+2=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2-1\right)=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\\x=-1\end{matrix}\right.\)
Vì x;y;z có vai trò như nhau trong hệ phương trình nên hệ phương trình đã cho có 6 nghiệm (x;y;z) là: (1;2;-1);(1;-1;2);(2;1;-1);(2;-1;1);(-1;2;1);(-1;1;2)
