Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Big City Boy

Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=12\\2\sqrt{x}+5\sqrt{y}+10\sqrt{z}=\sqrt{xyz}\end{matrix}\right.\)

Nguyễn Việt Lâm
24 tháng 1 2022 lúc 6:11

ĐKXĐ: \(x;y;z\ge0\)

Đặt \(\left(\dfrac{\sqrt{x}}{5};\dfrac{\sqrt{y}}{4};\dfrac{\sqrt{z}}{3}\right)=\left(a;b;c\right)>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5a+4b+3c=12\\10a+20b+30c=60abc\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5a+4b+3c=12\\a+2b+3c=6abc\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(12=\left(a+a+a+a+a\right)+\left(b+b+b+b\right)+\left(c+c+c\right)\ge12\sqrt[12]{a^5b^4c^3}\)

\(\Rightarrow a^5b^4c^3\le1\) (1)

\(6abc=a+b+b+c+c+c\ge6\sqrt[6]{ab^2c^3}\)

\(\Rightarrow a^6b^6c^6\ge ab^2c^3\Rightarrow a^5b^4c^3\ge1\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow a^5b^4c^3=1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

\(\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(25;16;9\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Lê Thị Bích Thảo
Xem chi tiết
Haibara Ai
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Phác Chí Mẫn
Xem chi tiết
One_Blast
Xem chi tiết
Trúc Nguyễn
Xem chi tiết