\(M=\left(5+2\sqrt{6}\right)^{1004}+\left(5-2\sqrt{6}\right)^{1004}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=5+2\sqrt{6}\\b=5-2\sqrt{6}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=10\\ab=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Theo Viet đảo, \(a;b\) là nghiệm của pt \(x^2-10x+1=0\Leftrightarrow x^2=10x-1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=10a-1\\b^2=10b-1\end{matrix}\right.\) (1)
Đặt \(u_n=a^n+b^n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_0=a^0+b^0=2\\u_1=a+b=10\\u_{n+1}=a^{n+1}+b^{n+1}\\....\end{matrix}\right.\)
Từ (1) ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2.a^n=\left(10a-1\right)a^n\\b^2.b^n=\left(10b-1\right)b^n\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^{n+2}=10a^{n+1}-a^n\\b^{n+2}=10b^{n+1}-b^n\end{matrix}\right.\)
Cộng vế với vế: \(a^{n+2}+b^{n+2}=10\left(a^{n+1}+b^{n+1}\right)-\left(a^n+b^n\right)\)
\(\Leftrightarrow u_{n+2}=10u_{n+1}-u_n\)
Theo quy nạp, do \(u_0;u_1\) nguyên \(\Rightarrow u_n\) nguyên với mọi n hay M nguyên với \(n=1004\)
b/ Ta có \(u_{n+2}=10u_{n+1}-u_n\Rightarrow u_{n+2}+u_n=10u_{n+1}\Rightarrow\left(u_{n+2}+u_u\right)⋮10\)
Tương tự \(u_{n+4}+u_{n+2}=10u_{n+3}\Rightarrow\left(u_{n+4}+u_{n+2}\right)⋮10\)
\(\Rightarrow\left(u_{n+4}+u_{n+2}-\left(u_{n+2}+u_2\right)\right)⋮10\)
\(\Rightarrow\left(u_{n+4}-u_n\right)⋮10\)
\(\Rightarrow u_{n+4}\) và \(u_n\) có chữ số tận cùng giống nhau
\(\Rightarrow u_0;u_4;u_8;...;u_{4k}\) có số tận cùng giống nhau
Mà \(u_0=2\Rightarrow u_{4k}\) có số tận cùng là 2
\(\Rightarrow M=u_{1004}=u_{4.251}\Rightarrow M\) có tận cùng là 2
